Есть фонарик, в который помещается 2 батарейки, и есть 10 батареек, из которых 5 хороших и 5 плохих. За одну попытку можно вставить в фонарик 2 батарейки. Он будет светить только когда обе батарейки — хорошие. Как не позднее чем на 8-й попытке наверняка добиться, чтобы фонарик светил?

В квадрате 10 × 10 все клетки левого верхнего квадрата 5 × 5 закрашены чёрным цветом, а остальные клетки — белым. На какое наибольшее количество многоугольников можно разрезать (по границам клеток) этот квадрат так, чтобы в каждом многоугольнике чёрных клеток было в три раза меньше, чем белых? (Многоугольники не обязаны быть равными или даже равновеликими.)

Двадцать восемь лямзиков весами 2, 3, 4 и 5 кг (по 7 лямзиков каждого веса) переправились через реку на вёсельной лодке, выдерживающей вес 10 кг. Известно, что каждый лямзик грёб не более двух раз. Докажите, что грести пришлось не менее чем 12 лямзикам.

Можно ли на доске 3 × 3 расставить числа 1, 2, .... 9, каждое по одному разу, так, чтобы сумма любых двух соседних (по стороне) чисел была простым числом?

В каждой вершине десятиугольника сидит некоторое количество (возможно, ни одного) кузнечиков и некоторое количество (возможно, ни одной) блох. На каждой из десяти сторон написаны два числа: первое — суммарное количество кузнечиков на концах этой стороны, второе — суммарное количество блох в концах этой стороны. Оказалось, что все написанные пары чисел различны (пары, отличающиеся порядком чисел, например, пары (1,0) и (0,1) тоже считаются различными). Каково наименьшее возможное суммарное количество насекомых?

Шахматная фигура Бадья занимает квадратик 2 × 2. За один ход Бадья может продвинуться на любое число клеток по горизонтали или на любое число клеток по вертикали, если только все клетки, по которым она проходит, свободны. Одна Бадья бьёт другую, если может за один ход встать в точности на её место. Докажите, что в прямоугольнике 30 × 40 нельзя расставить больше 240 Бадей так, чтобы они не били друг друга.