Задача 1.
Вася вырезал по клеточкам из шахматной доски фигурку. Оказалось, что в этой фигурке чёрных и белых клеток одинаково. Обязательно ли эту фигурку можно разрезать на прямоугольники размера 1×2?
Задача 2.
Фирма предоставляет услуги перевода с любого языка на любой из списка 10 языков. Известно, что в фирме нет ненужных переводчиков. Какое наибольшее количество переводчиков может работать в фирме?
Задача 3.
Дан квадрат 4×4, разделенный на четыре квадрата 2×2 (см. рисунок).
Можно ли в клетках этого квадрата расставить 4 единички, 4 двойки, 4 тройки и 4 четвёрки так, чтобы все 12 сумм: суммы по строкам, по столбцам и по четырём квадратам 2×2, – были попарно различны?
Задача 4.
На планете Мелмак всего 100 государств. У каждого жителя этой планеты есть не более 10 знакомых на этой планете. Также в каждом государстве есть житель, у которого все знакомые из этого же государства. Докажите, что на планете Мелмак не выполнена теория трёх рукопожатий — то есть какие-то двое не знакомы друг с другом через три или меньшее число рукопожатий.
Задача 5.
Цену в рублях назовём красивой, если она состоит из одинаковых цифр или оканчивается на 99. У Васи есть 𝑁 конфет, каждая стоит 1 рубль. Вася хочет разложить конфеты по коробочкам, так чтобы у каждой была красивая цена и в каждой коробочке было хотя бы 10 конфет. Найдите наибольшее 𝑁, для которого он не сможет это сделать.
Задача 6.
Существуют ли 100 натуральных чисел, являющихся квадратами натуральных чисел, которые отличаются только порядком цифр?
Задача 7.
На плоскости отмечены 300 точек. Известно, что нельзя нарисовать 100 треугольников с вершинами в этих точках, не имеющих общих точек. Докажите, что какие-то 3 точки лежат на одной прямой.
Задача 8.
Вася подсчитал произведение ненулевых цифр у каждого из чисел от 1 до 1000000. Затем он сложил все эти 1000000 произведений. Докажите, что полученная сумма делится на 23.
Задача 9.
В строчку выписали 2012 плюсов и 1 минус. За один ход для любого минуса разрешается поменять соседние с ним знаки на противоположные (или один знак – если этот минус крайний). Найдите все позиции, где изначально мог распологаться минус, если известно, что из исходной строчки можно получить строчку из одних минусов.
