Задача 1.
На складе лежит много ящиков с апельсинами весом по 19, 22 и 30 килограммов. Покажите, что можно отгрузить со склада ровно 200 килограммов апельсинов, не вскрывая ящики.
Задача 2.
Костя выписал в ряд 2013 натуральных чисел так, что сумма любых двух соседних чисел равна либо 3, либо 4. Никита сосчитал сумму всех чисел и получил 4028. Докажите, что кто-то из них ошибся.
Задача 3.
Разрежьте фигуру на рисунке на 2 равные части.
Задача 4.
Вдоль стен круглого зала в один ряд расставлены несколько кресел и два стула. Крош и Нюша принялись считать предметы мебели по кругу, возможно, с разных мест, ничего не пропуская. Закружившись, Крош насчитал 5 стульев и 25 кресел, а Нюша – 7 стульев и 48 кресел. Сколько кресел в зале на самом деле?
Задача 5.
В игре «Барабашка» участвует пять предметов: серый мышонок, белый барабашка, красное кресло, зелёная бутылка и синяя книга. На карточке нарисованы два разных предмета двух разных цветов. Для одной из карточек Егор сказал, что на ней изображена белая книга на синем кресле. Виталик – что это белый барабашка с красной книгой. Соня – зелёный мышонок с серой бутылкой. А Катя – что тут зелёная бутылка в руках у синего барабашки. Каждый из ребят правильно назвал один из присутствующих цветов и один из предметов. Остальное неверно. Что изображено на карточке, если известно, что изображены предметы, каких нет в игре?
Задача 6.
На дисплее компьютера появилась таблица 3×3, в клетках которой стоят нули. Программа, написанная программистом Знайкой, случайным образом выбирает квадрат 2×2 и увеличивает на 1 все числа, стоящие в нём, затем вновь выбирает квадрат и т.д. После того, как программа закончила работу, зловредный вирус, написанный хакером Незнайкой, уничтожил все данные в таблице, за исключением трёх клеток, показанных на рисунке. Какое число стояло в центральной клетке?
Задача 7.
На острове рыцарей и лжецов на конференции за круглый стол уселись физики и лирики. Оказалось, что физиков столько же, сколько и лириков. Кроме того известно, что количество лириков-лжецов равно количеству физиков-лжецов. На вопрос: «Кто Ваш сосед справа?» все сидящие за столом ответили: «физик». Докажите, что количество людей за столом кратно четырём.
Задача 8.
На олимпиаду пришли школьники, каждый из которых имеет среди пришедших не более 2 знакомых. Докажите, что их можно распределить по 4 аудиториям так, чтобы никакие два знакомых не оказались в одной аудитории и чтобы не было школьника, два знакомых которого пишут олимпиаду в одной аудитории.
Задача 9.
Завод расположен вдоль реки на расстоянии ровно 1 км, и от завода к реке по прямой проложено ровно 2013 труб. Труба может в каком-то месте внезапно уйти под землю, а потом столь же внезапно появиться. Активисты Гринпис, сфотографировав с вертолёта план местности, заметили, что любая прямая линия, проведённая между заводом и рекой, пересекает на поверхности ровно 1000 труб. Сколько километров труб проложено под землёй?
