Задача 1.
Саша выписала на доску числа от 1 до N. Оказалось, что среди выписанных чисел ровно 2014 не делятся на 3. Найдите все возможные N и докажите, что других ответов нет.
Задача 2.
Коля разрезал квадрат 6×6 по линиям сетки на 8 прямоугольников. Докажите, что среди них найдётся два прямоугольника с одинаковой площадью.
Задача 3.
У Кости есть четверо часов. Одни из них не то отстают, не то спешат на 5 минут, вторые – не то отстают, не то спешат на 10 минут, третьи – не то отстают, не то спешат на 15 минут, четвёртые – не то отстают, не то спешат на 20 минут. Но неизвестно, какие конкретно часы что делают. Однажды Костя посмотрел на часы и увидел такое время: 10:10, 10:30, 10:35, 10:25. Который сейчас час?
Задача 4.
На доске написаны числа от 1 до 20. Малыш и Карлсон играют в игру: они по очереди (начинает Малыш) вычеркивают по одному числу с доски. Если сумма всех цифр последних двух вычеркнутых с доски чисел будет чётной, то выигрывает Карлсон, иначе выигрывает Малыш. Кто выигрывает при правильной игре обоих игроков?
Задача 5.
Никита выписывает на доске цифры 1, 2, 3, 4, 0, 9, 6, 9, 4… Первые четыре цифры в этой последовательности равны 1, 2, 3 и 4. Каждая следующая цифра равна остатку от деления на 10 суммы четырёх последних цифр: 1 + 2 + 3 + 4 = 10, 2 + 3 + 4 +0 = 9, 3 + 4 + 0 + 9 = 16, и т.д. Встретятся ли в этой последовательности цифры 1, 3, 2, 9 идущие подряд?
Задача 6.
Витя хочет начертить M отрезков на плоскости так, чтобы никакие три отрезка не пересекались в одной точке, и любой отрезок пересекал ровно 3 других отрезка. Найдите все значения M, при которых Витя сможет осуществить свой план.
Задача 7.
Число N является полным квадратом натурального числа, а число 4N является кубом натурального числа. Докажите, что N делится на 16.
Задача 8.
У Никиты есть 12 монет, из них 3 фальшивых, каждая из которых легче настоящей монеты (вес фальшивых монет одинаков). Можно ли за 4 взвешивания на чашечных весах найти хотя бы 2 фальшивые монеты?
Задача 9.
Найдите все тройки целых чисел x, y, z такие, что x2 + 4y2 = 7z2.
Задача 10.
Какое максимальное количество клеток можно отметить на доске 6×6 так, чтобы у любой клетки на доске не было двух и более отмеченных соседей (клетки считаются соседними, если у них общая сторона)?
