Задача 5.
В круг встали 2017 жителей Острова Рыцарей и Лжецов (рыцари всегда говорят правду, а лжецы всегда лгут). Каждого из них попросили назвать своего правого соседа, и каждый ответил либо «рыцарь», либо «лжец». Могло ли оказаться, что ответов «рыцарь» было дано ровно 2000?
Ответ на Задачу 5.
Ответ: Не могло.
Решение:
Рассмотрим пару рядом стоящих и будем считать только то, что сказал левый сосед. Тогда в этой паре левый человек мог сказать «рыцарь» в случае только, если пара РР или ЛЛ. Аналогично левый мог сказать «лжец» только в случаях ЛР и РЛ. Таким образом количество ответов «лжец» равно количеству смешанных пар.
Множество всех жителей в хороводе разбивается на области одного типа Р…Р и Л…Л. И смешанные пары могут быть только на границе этих областей. Следовательно, количество смешанных пар в точности равно количеству областей. Но количество областей не может быть нечётным, поскольку области рыцарей и лжецов чередуются. Поэтому сказать «лжец» могли только чётное число человек.
Если всего опросили 2017 человек, а «рыцарь» сказали 2000, значит, «лжец» сказали 17. Но это нечётное число, а, как было доказано выше, такого быть не может.
