Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2019 год, 2 этап, 1 вариант
дата проведения: 3 марта 2019
Задача 1.
Пусть $k$ — натуральное число. Известно, что среди 29 последовательных чисел 30$k$ + 1, 30$k$ + 2, …, 30$k$ + 29 имеется 8 простых. Докажите, что 30$k$ + 1 и 30$k$ + 29 обязательно простые.
Ответ на Задачу 1.
Решение:
Числа 30$k$ + 2, 30$k$ + 4, 30$k$ + 6, 30$k$ + 8, 30$k$ + 10, 30$k$ + 12, 30$k$ + 14, 30$k$ + 16, 30$k$ + 18, 30$k$ + 20, 30$k$ + 22, 30$k$ + 24, 30$k$ + 26, 30$k$ + 28 — делятся на 2 и больше 2, значит, не простые.
Числа 30$k$ + 3, 30$k$ + 9, 30$k$ + 15, 30$k$ + 21, 30$k$ + 27 — делятся на 3 и больше 3, поэтому не простые.
Числа 30$k$ + 5, 30$k$ + 25 — делятся на 5 и больше 5, следовательно, не простые.
Осталось всего 8 чисел: 30$k$ + 1, 30$k$ + 7, 30$k$ + 11, 30$k$ + 13, 30$k$ + 17, 30$k$ + 19, 30$k$ + 23, 30$k$ + 29, значит все они простые.
