Ответ: $\displaystyle \frac{16}{9}$, $\displaystyle \frac{9}{16}$.

Решение:

Обозначим $\displaystyle \frac{a}{b} = x^2$, тогда $\displaystyle \frac{b}{a} = \frac{1}{x^2}$.

По условию $\displaystyle \frac{a + b}{\sqrt{a b}} = \frac{25}{12}$, откуда $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}} + \sqrt{\frac{b}{a}} = \frac{25}{12}$.

Итак, $\displaystyle x + \frac{1}{x} = \frac{25}{12}$ и $12 x^2 − 25 x + 12 = 0$. Поэтому $\displaystyle x_1 = \frac{4}{3}$ и $\displaystyle x_2 = \frac{3}{4}$. Следовательно, $\displaystyle \frac{a}{b}$ равно $\displaystyle \frac{16}{9}$ или $\displaystyle \frac{9}{16}$.