Задача 3.
Известно, что $ABCDE$ — выпуклый пятиугольник. Прямые $BE$ и $AC$ пересекаются в точке $P$, прямые $CE$ и $AD$ — в точке $Q$, прямые $AD$ и $BE$ — в точке $O$, треугольники $ABP$ и $DEQ$ — равнобедренные с углом при вершине равным 80°. Как значения может принимать градусная мера угла $ACE$, если известно, что треугольники $APO$ и $EQO$ также равнобедренные.
Ответ на Задачу 3.
Ответ: 60° или 105°.
Решение:
Рассмотрим треугольник $ABP$. Угол $APB$ в нём может быть 80° или 50°. Тогда смежный $\angle APO$ составляет 100° или 130°. Значит, в треугольнике $A P O$ это угол при вершине и $\angle AOP$ составляет 40° или 25°.
Проведём аналогичные рассуждения для треугольников $D Q E$ и $EQO$, получим, что $\angle QOE$ также составляет 40° или 25° в зависимости от $\angle DQE$. Но $\angle QOE$ = $\angle AOP$, как вертикальные, значит $\angle APB$ = $\angle D Q E$. Тогда $\angle A C E$ = 360° − $\angle CPO$ − $\angle CQO$ − $\angle POQ$ = 360° − $\angle A P B$ − $\angle D Q E$ − $\angle A O E$, что составляет 60° или 105°.
