Задача 4.
Бельчонок прошёл в финал математического конкурса. Перед ним лежат 15 шишек, 15 грибов и 15 ягод. Бельчонку требуется выбрать 15 из 45 этих предметов так, чтобы заработать максимальное количество баллов. Баллы начисляются следующим образом. За каждую шишку бельчонок получает один балл. За каждый гриб — количество баллов, равное удвоенному количеству выбранных шишек. За каждую ягоду — количество баллов, равное утроенному количеству выбранных грибов. Какое максимальное количество баллов может получить бельчонок?
Ответ на Задачу 4.
Ответ: 168 баллов.
Решение:
Обозначим количества взятых бельчонком шишек, грибов и ягод за $x$, $y$ и $z$ соответственно.
Число баллов, которое получит бельчонок, выражается формулой $x + 2xy + 3yz = x\cdot(2y + 1) + 3yz$. Если $y = 0$, то бельчонок получит баллы только за шишки, то есть не более 15. Если же $y\geq1$, то $2y + 1\leq3y$, и, как видно из формулы выше, после замены всех шишек на ягоды количество баллов, набранных бельчонком, не уменьшится. Тем самым можно считать, что бельчонок выбрал только ягоды и грибы, и тогда $y + z = 15$. Общая сумма набранных баллов вычисляется по формуле $3y\cdot(15 − y)$.
Рассмотрим параболу $f(t) = 3t(15 − t)$. Максимальное значение в целочисленной точке достигается, когда эта точка ближе всех к вершине параболы, то есть при $t = 7$ или $t = 8$. Количество очков при этом равно $3\cdot7\cdot8 = 168$.
