Задача 5.
В шахматном турнире участвовали 50 бельчат-шахматистов. Перед обеденным перерывом на турнире была сыграна 61 партия, причём каждый бельчонок сыграл либо 2, либо 3 партии и никто из бельчат не играл друг с другом дважды. Возможно ли, что никакие два бельчонка, сыгравшие по 3 партии, не играли между собой?
Ответ на Задачу 5.
Ответ: Нет.
Решение:
Пусть к рассматриваемому моменту турнира $x$ участников сыграло по три партии, а $(50 − x)$ – по две партии. Поскольку в каждой партии участвуют два шахматиста, то суммарное количество сыгранных к этому моменту партий равно $\displaystyle \displaystyle\frac{3x + 2(50 − x)}{2}$. Из уравнения $\displaystyle \displaystyle\frac{3x + 2(50 − x)}{2} = 61$ находим $x$ = 22. Предположим, теперь, что никакие два шахматиста, сыгравшие по три партии, не играли между собой. Тогда все игры, которые они провели, были сыграны с шахматистами, сыгравшими по две партии. Таких игр 3 ⋅ 22 = 66 > 61, что противоречит условию задачи.
