Задача 4.
В остроугольном треугольнике $ABC$ сторона $AC$ = 10. Из вершин $A$ и $C$ проведены высоты треугольника $CL$ и $AN$. Через вершину $A$ проведена прямая, параллельная высоте $LC$, а через вершину $C$ проведена прямая, параллельная стороне $AB$, точка пересечения этих прямых обозначена $E$. Известно, что $LN$ = 6. Найдите длину отрезка $NE$.
Ответ на Задачу 4.
Ответ: 8.
Решение:
Поскольку $ALCE$ – прямоугольник, около него можно описать окружность. $АС$ является диаметром этой окружности, так как на $AC$ опирается прямой угол $ALC$. Докажем, что точка $N$ принадлежит данной окружности.
По условию угол $ANC$ прямой, и он также опирается на диаметр $AC$, если бы точка $N$ лежала внутри окружности, угол ANC был бы тупым, а если вне – острым. Тогда угол $LNE$ — прямой, так как точка $N$ лежит на окружности, а $LE$ — другой диаметр этой окружности. При этом $LE$ = $AC$ = 10. Следовательно, $NE$ — катет прямоугольного треугольника с гипотенузой 10 и катетом 6, поэтому $NE$ = 8.
