Ответ: 62 пары.

Решение:

Приведем уравнение к виду $xy − 1404x − 1404y = 0$, и разложим на множители: $(x − 1404)(y − 1404) = 1404^2$. Каждое решение соответствует разложению числа $N = 1404^2$ на два множителя, причём достаточно рассматривать только положительные множители. Если один из множителей, например, $x − 1404<0$, то $x<1404$, и не удовлетворяет уравнению. Поэтому уравнение будет иметь столько же решений, сколько имеется натуральных делителей у числа $N$.

Пусть $N = n\cdot m$ ($n = x − 1404$, $m = y − 1404$). Разложим $N$ на простые множители: $N = 2^4⋅3^6⋅13^2$. Произвольный делитель $N$ имеет вид $2^a⋅3^b⋅13^c$, где $a$ может принимать значения {0, 1, 2, 3, 4}, $b$ — значения {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, $c$ — значения {0, 1, 2}. Однако числа $x$, $y$, а значит, и числа $n = x − 1404$, $m = y − 1404$, должны быть чётными. Значит, в равенстве $N = n\cdot m$ первый множитель $n$ должен содержать степень 2, отличную от 0 и от 4 (иначе второй делитель являлся бы нечётным числом). Поэтому $a$ может принимать только значения {1, 2, 3}, и всего пар чётных множителей 3 ⋅ 7 ⋅ 3 = 63. Одна пара состоит из равных множителей, каждый из которых равен $\sqrt{N} = 2^2⋅3^3⋅13$ = 1404, при этом $x$ = $y$ = 2808, эта пара не удовлетворяет условию. Очевидно, что в любой другой паре делители не равны, и $x\neq y$.