Задача 5.
Два пирата делили между собой кучу в n2 монет. Каждый по очереди брал из общей кучи 10 монет. После того, как в очередной раз первый пират взял 10 монет, остаток в куче оказался меньше 10 монет. Чтобы обеспечить равный делёж, первый пират отдал второму свой кинжал. Сколько монет стоит кинжал? (Пираты не знают дробей, и кинжал стоит целое число монет).
Ответ на Задачу 5.
Ответ: 2 монеты.
Решение:
Представим число n2 в виде 20y + a, где a — остаток от деления числа n2 на 20. По условию задачи 10 ≤ a < 20. Пусть кинжал оценен в x монет, тогда из равенства их прибыли получается: 10 − x = (а − 10) + x, откуда x = 10 − а/2. Значит, а — чётное число, поэтому а ∈ {10; 12; 14; 16; 18}. Заметим, что последняя цифра числа a совпадает с последней цифрой числа n2, то есть, с последней цифрой точного квадрата. Следовательно, a ≠ 12 и а ≠ 18. Если a = 14 или a = 10, то число 20y + a делится на 2, но не делится на 4, поэтому не может быть квадратом числа n. Остаётся единственный вариант a = 16. Тогда x = 2. Вариант a = 16 возможен, например, при n = 6.
