Задача 4.
Дима и Лена, ни на что не отвлекаясь, начали одновременно есть чипсы из одной большой пачки (каждый со своей постоянной скоростью). Если бы Дима ел со скоростью Лены, то чипсы бы они ели на 3 минуты дольше, а если бы Лена ела со скоростью Димы, то чипсы они бы съели на 2 минуты быстрее. За какое время Дима и Лена съели все чипсы?
Ответ на Задачу 4.
Ответ: 12 минут.
Решение:
Пусть Дима ест чипсы со скоростью $d$ чипсов в минуту, Лена — со скоростью $b$ чипсов в минуту, а время, за которое Дима и Лена съедят все чипсы составляет $t$ минут. (Все переменные — положительные, не обязательно целые числа.) Тогда имеем систему:
$$ \left\{\begin{array}{l} (d + b) \cdot t = 1 \\ (b + b) \cdot(t + 3) = 1 \\ (d + d) \cdot(t − 2) = 1 . \end{array}\right. $$
Сложим второе уравнение с третьим, получим $2(b + d) t + 6 b − 4 d = 2$, откуда, учитывая равенство $(b + d) t = 1$, получаем $d = 1,5 b$. Теперь первое уравнение принимает вид $2,5 b t = 1$, а второе (после раскрытия скобок) $2 b t + 6 b = 1$, откуда $\displaystyle \frac{2}{2,5} + 6 b = 1$ и $\displaystyle b = \frac{1}{30}$. Тогда $\displaystyle t = \frac{1}{2,5 b} = 12$.
