Задача 2.
Аня записывает в тетради четырёхзначные числа, а Тоня записывает пятизначные числа. В каждом числе Тони и Ани нет нуля и нет одинаковых цифр, и цифры расположены в порядке убывания. Сколько разных чисел может написать Аня, и сколько — Тоня?
Ответ на Задачу 2.
Ответ: Каждая может написать 126 чисел.
Решение:
Пусть, когда Аня использует какие-то 4 цифры из 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, то Тоня использует остальные 5 цифр. Каждый набор различных цифр можно расположить в порядке убывания единственным образом. Значит, чисел у них будет поровну. Число четвёрок цифр равно 9 ⋅ 8 ⋅ 7 ⋅ 6 = 3024. Каждую четвёрку цифр можно переставить числом способов равно 4 ⋅ 3 ⋅ 2 ⋅ 1 = 24, и только один раз цифры будут расположены в порядке убывания. Поэтому всего Аня может написать 3024 / 24 = 126 чисел. Столько же чисел будет и у Тони.
