Задача 5.
Числа $a$, $b$, $c$ удовлетворяют условиям: $a + b + c = 0$, $a \cdot b \cdot c < 0$. Докажите, что
$$ \frac{a^2 + b^2}{c} + \frac{b^2 + c^2}{a} + \frac{c^2 + a^2}{b}>0 $$
Ответ на Задачу 5.
Решение:
Так как $a \cdot b \cdot c < 0$, либо одно из чисел $a$, $b$, $с$ отрицательно, либо все три. Но $a + b + c = 0$, поэтому все три числа отрицательными быть не могут. Пусть, без ограничения общности, $a>0$, $b>0$ и $c<0$. Нам нужно доказать, что
$$ \frac{a^2 + b^2}{c} + \frac{b^2 + c^2}{a} + \frac{c^2 + a^2}{b}>0 $$
или
$$ \frac{b^2 + c^2}{a} + \frac{c^2 + a^2}{b}> − \frac{a^2 + b^2}{c} = \frac{a^2 + b^2}{a + b} $$
Так как $a>0$ и $b>0$, получаем, что
$$ \frac{b^2 + c^2}{a}>\frac{b^2}{a}>\frac{b^2}{a + b} $$
Аналогично
$$ \frac{c^2 + a^2}{b}>\frac{a^2}{b}>\frac{a^2}{a + b} $$
Складывая два полученных неравенства, получим требуемое утверждение.
