Задача 4.
В параллелограмме $A B C D$ со сторонами $A B$ = 14, $B C$ = 9 провели биссектрисы внутренних углов $A$, $B$, $C$, $D$. В пересечении они образовали четырёхугольник $K L M N$. Затем провели биссектрисы внешних углов параллелограмма $A B C D$, они образовали четырёхугольник $P Q R S$. Найдите длины диагоналей четырёхугольников $K L M N$ и $P Q R S$.
Ответ на Задачу 4.
Ответ: 5 и 23.
Решение:
Пусть $A N$ и $B N$ – биссектрисы внутренних углов $A$ и $B$ параллелограмма $A B C D$. Тогда $\angle K N M$ = $\angle A N B$ = 180° − $\frac{1}{2} \angle A$ − $\frac{1}{2} \angle B$. Но $\angle A$ + $\angle B$ = 180°, поскольку это смежные углы параллелограмма. Поэтому $\angle A N B$ = 90°.
Пусть $A P$ и $B P$ – биссектрисы внешних углов $A$ и $B$. Тогда $\angle S P Q$ = $\angle A P B$ = 180° − $\frac{1}{2} \angle X A B$ − $\frac{1}{2} \angle Y B A$, где $\angle X A B$ и $\angle Y B A$ – внешние углы при вершинах $A$ и $B$, их сумма также равна 180°. Таким образом, $\angle S P Q$ = 90°. Аналогично можно показать, что все углы обоих четырёхугольников прямые.
Точка $K$, лежащая на биссектрисах углов $D A B$ и $A D C$, равноудалена от прямых $A B$ и $C D$, тем же свойством обладают точки $M$, $Q$, $S$. Поэтому точки $K$, $M$, $Q$, $S$ лежат на одной прямой (равноудаленной от прямых $A B$ и $C D$). Аналогично, точки $L$, $N$, $R$, $P$ лежат на одной прямой (равноудаленной от прямых $B C$ и $A D$). $S M$ = $A B$, так как $A B M S$ – параллелограмм. $S K$ = $M Q$ = $B C$, так как $A K D S$ и $B Q C M$ – равные прямоугольники, а $S K$, $M Q$, $B C$ – диагонали этих прямоугольников. Отсюда $S Q$ = $S M$ + $M Q$ = $A B$ + $B C$ = 14 + 9 = 23, $K M$ = $S M$ − $S K$ = $A B$ − $B C$ = 14 − 9 = 5.
