<< к заданиям
Олимпиада «Бельчонок», 8 класс, 2021 год, 2 этап, 2 вариант
дата проведения: 13 марта 2021

Задача 5.

Известно, что для положительных чисел $a$ и $b$ при некотором натуральном $n \geq 2$ выполняются соотношения

$$ a^n = a + 1$$

$$b^{2 n} = 3 a + b $$

Можно ли определить, какое из чисел $a$ и $b$ больше другого?


Ответ на Задачу 5.

Ответ: Да, $a$ > $b$.

Решение:

Заметим, что $a^n > 1$, а значит, и $a > 1$.

Возведём в квадрат первое уравнение, перенося члены, получим $a^{2 n} − a = a^2 + a + 1$. Поскольку $a^2 − 2a + 1 > 0$, $a^2 + a + 1 > 3a$. По условию $3a = b^{2 n} − b$, значит, $a^{2 n} − a = a^2 + a + 1 > b^{2 n} − b$.

Запишем это как $a\left(a^{2 n − 1} − 1\right) > b\left(b^{2 n − 1} − 1\right)$. Заметим, что отсюда следует $a \neq b$. Пусть $a < b$. Поскольку $a > 1$, то и $b > 1$, и $b^{2 n − 1} > a^{2 n − 1}$. Тогда $b\left(b^{2 n − 1} − 1\right) > a\left(a^{2 n − 1} − 1\right)$, получили противоречие.