Задача 5.
На 900 карточках записаны все натуральные числа от 1 до 900. Карточки, на которых записаны квадраты целых чисел, убирают, а оставшиеся перенумеровывают, начиная с 1. Потом операцию удаления квадратов повторяют. Сколько раз придётся повторить эту операцию, чтобы удалить все карточки?
Ответ на Задачу 5.
Ответ: 59 раз.
Решение:
При первой операции удалится 30 карточек, останется 900 − 30 = 30 ⋅ 29 карточек. Поскольку 30 ⋅ 29 > 292, все квадраты, кроме 302, остались. При второй операции удалится 29 карточек. Останется 30 ⋅ 29 − 29 = 292 карточек. Таким образом, за две операции перешли от числа 302 к числу 292.
Запишем в общем виде: при первой операции удалится $n$ карточек, останется $n^2 - n = n(n - 1) > (n − 1)^2$, при второй операции удалится $n - 1$ карточка. Останется $n^2 - n - (n - 1) = (n - 1)^2$, то есть за две операции всегда переходят от числа $n^2$ к числу $(n - 1)^2$. Всего среди чисел от 1 до 900 содержится 30 квадратов, между ними 29 переходов. Чтобы дойти до единственной карточки потребуется 2 ⋅ 29 операций, и ещё одна, чтобы удалить последнюю карточку с номером 1.
