Задача 1.
Дана фиксированная окружность $k$ и точка $A$ вне неё. Отрезок $BC$ является диаметром окружности $k$. Найдите геометрическое место ортоцентров треугольников $ABC$, при вращении диаметра $BC$.
Задача 2.
Шахматную доску размера $m$ × $n$, где $m ⩾ 2$ и $n ⩾ 2$ красят в четыре цвета: белый, зелёный, красный и синий (каждая клетка целиком красится в один из этих цветов). Назовём раскраску пёстрой, если каждый квадрат 2 × 2 состоит из клеток всех четырёх цветов. Найдите число пёстрых раскрасок.
Задача 3.
В каждой точке пространства записано действительное число, отличное от нуля. Известно, что для любого тетраэдра $\tau$ произведение чисел в его вершинах равняется числу записанному в центре его вписанной сферы. Докажите, что все записанные числа равны 1.
Задача 4.
Найдите все пары простых чисел, таких что:
$$ p^2 \mid q^3+1 \quad \text{ и } \quad q^2 \mid p^6-1 $$
Задача 5.
Найдите все функции $f: \mathbb{Q}^{+} \rightarrow \mathbb{R}^{+}$, такие что:
$$ f(x y)=f(x+y)(f(x)+f(y)), \quad \text{ для всех } \quad x, y \in \mathbb{Q}^{+} $$
(Где $\mathbb{Q}^{+}$и $\mathbb{R}^{+}$означают соответственно множество положительных рациональных и множество положительных действительных чисел.)
Задача 6.
Четырёхугольник $A B C D$ вписан в окружность $k$. Отрезки $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $E$, а лучи $CB^{\rightarrow}$ и $DA^{\rightarrow}$ пересекаются в точке $F$. Докажете, что прямая проходящая через центры вписанных окружностей $\triangle A B E$ и $\triangle A B F$ и прямая проходящая через центры вписанных окружностей треугольников $\triangle C D E$ и $\triangle C D F$ пересекаются на окружности $k$.
