Задача 1.
Вычислите: $$ 2 \sqrt{3+\sqrt{5-\sqrt{13+\sqrt{48}}}} $$
Задача 2.
Упростите выражение: $$ \left(\frac{x^{-1}+1}{x^{-1}-1}\right)^{-1}-1 − 2 \cdot(1+x)^{-1} $$
Задача 3.
Решите уравнение: $$ x^{-1} \cdot(x+4)^{\frac{1}{4}}+(x+1)^{\frac{1}{4}}=32 \cdot x^{\frac{1}{4}} $$
Задача 4.
Решите неравенство: $$ \frac{x^2 − 2 x+3}{x^2 − 4 x+3} \geq-3 $$
Задача 5.
Сумма первых $n$ членов геометрической прогрессии равна 31. Найдите её первый член, знаменатель и $n$, если $b_1+b_5=17$ и $b_2+b_6=34$.
Задача 6.
При каких значениях параметра $a$ уравнение $(a-2) x^2 − 2 a x-2 a-3=0$ имеет два положительных корня?
Задача 7.
Радиус окружности, описанной около треугольника $A B C$, равен 13, $B C=24$. Найдите, в каком отношении, считая от вершины $B$, биссектриса угла $A$ делит высоту, проведённую из этой вершины.
Задача 8.
Найдите периметр прямоугольного треугольника, если точка касания вписанной в этот треугольник окружности делит гипотенузу на отрезки длиной 3 и 7.
Задача 9.
Дан ромб $A B C D$. Окружность, описанная около треугольника $A B D$, пересекает большую диагональ ромба $A C$ в точке $E$. Найдите $C E$, если $A B=8 \sqrt{5}$, $B D=16$.
Задача 10.
В кабинете информатики Физтех-лицея 17 пронумерованных от 1 до 17 компьютеров, на 5 из них успели обновиться до Windows11, остальные остались на Windows10. Какова вероятность того, что обновились компьютеры только с нечётными номерами?
