Задача 1.
В семье 6 детей. Каждому задали вопрос: «Сколько у тебя братьев?» Они ответили следующее:
- Саша: «У меня 1 брат».
- Валя: «У меня 2 брата».
- Слава: «У меня 4 брата».
- Паша: «У меня 4 брата».
- Женя: «У меня 5 братьев».
- Вася: «У меня нет братьев».
При ответе на вопрос мальчики соврали, а девочки сказали правду. Сколько в семье сыновей и как их зовут? (Все имена: Саша, Валя, Слава, Паша, Женя, Вася, — могут быть как женскими, так и мужскими.)
Задача 2.
Есть 4 монеты. Некоторые из них настоящие, некоторые фальшивые. Настоящие весят одинаково, фальшивые одинаково, настоящие тяжелее фальшивых. Есть двухчашечные весы без гирь. В весах живёт Весёлый Гнум. Каждый раз перед тем, как весы покажут результат взвешивания, он одну из монет (может даже которая не на чашах весов) меняет (то есть из фальшивой превращает в настоящую, из настоящей превращает в фальшивую). Но он никогда не делает так, что все монеты станут фальшивыми. Найдите с помощью этих весов хотя бы одну настоящую монету.
Задача 3.
В понедельник Кузя шёл в школу со скоростью 4 км/ч и опоздал на 2 минуты. Во вторник он ехал на электросамокате со скоростью 12 км/ч и успел вовремя. На сколько он опоздает в среду, если неспешно пойдёт в школу со скоростью 2 км/ч? (Кузя выходит в школу всегда в одно и то же время. Уроки начинаются тоже всегда в одно и то же время.)
Задача 4.
На столе лежит 2019 шишек. Двое по очереди делают ходы. За один ход разрешается взять со стола 2 или 9 шишек. Тот, кто не может сделать очередной ход, проигрывает. Кто из игроков может гарантировать себе победу вне зависимости от действий противника?
Задача 5.
Имеется клетчатая полоска 1 × 𝑁. В каждую клетку надо вписать одну из трёх цифр 1, 2, 3 так, чтобы для любой клетки, в которой записана цифра 1, нашлась клетка ровно через одну клетку от неё, в которой записана цифра 2; для каждой клетки, в которой записана цифра 2, нашлась клетка ровно через две клетки от неё, в которой записана цифра 3; а для каждой клетки, в которой записана цифра 3, нашлась клетка, ровно через три клетки от неё, в которой записана цифра 1. Можно ли это сделать для 𝑁 = 11?
Задача 6.
Квадрат 11 × 11 разбит на квадраты 4 × 4 и прямоугольники 1 × 3 или 3 × 1. Докажите, что в большом квадрате найдётся ряд (строка или столбец), пересекающий нечётное (не делящееся на 2) число фигур разбиения.
Задача 7.
Можно ли разрезать правильный 6-угольник (см. рисунок) на 12 треугольников так, чтобы каждый треугольник имел общий отрезок границы ровно с 3 другими треугольниками?
Задача 8.
В рыбалке участвовали 7 рыбаков. Любые двое из них поймали различное количество рыбок. Кроме того, оказалось, что любые трое из них поймали вместе не менее 13 рыбок. Какое наименьшее число рыбок могли в сумме поймать все семеро рыбаков?
