Задача 1.
Все натуральные числа от 1 до 2019 покрашены в один из двух цветов: белый или чёрный. Если числа 𝑎 и 𝑏 из этого набора покрашены в один цвет, то цвет числа 𝑎 − 𝑏 (где 𝑎 > 𝑏) совпадает с цветом числа 𝑎. Сколько всего существует таких различных раскрасок?
Задача 2.
Можно ли в каждую клетку таблицы 9 × 9 написать натуральное число так, чтобы: сумма чисел в первой строке этой таблицы отличалась на 1 от суммы чисел в первом столбце это таблицы; сумма чисел во второй строке этой таблицы отличалась на 2 от суммы чисел во втором столбце этой таблицы; . . . сумма чисел в девятой строке этой таблицы отличалась на 9 от суммы чисел в девятом столбце этой таблицы?
Задача 3.
Антонио, спускаясь по эскалатору, движущемуся вниз, прошёл 134 ступени. А бегущий в 3 раза быстрее Борисио прошёл 201 ступеньку, спускаясь по этому же эскалатору. Флегматичный Вованио никуда не торопился и неподвижно прокатился на этом же эскалаторе вниз. Во сколько раз Вованио дольше Антонио спускался на этом эскалаторе?
Задача 4.
Имеется четыре кубика с рёбрами 1 см, 2 см, 3 см и 5 см. Можно ли собрать из этих кубиков фигуру, у которой площадь поверхности составляет менее 200 см2? Кубики можно ставить друг на друга гранями. Фигура не должна распадаться на несколько не связанных между собой частей
Задача 5.
Коля нарисовал клетчатый квадрат 𝑁 × 𝑁. При каких значениях 𝑁 этот квадрат можно разрезать на несколько (больше нуля) прямоугольников 1 × 4 (прямоугольники можно поворачивать) и один квадрат 1 × 1?
Задача 6.
У Никиты есть 5 гирек, любые две из которых имеют разную массу. Назовем тройку гирек «интересной», если масса одной из гирек этой тройки равна сумме масс двух оставшихся гирек этой тройки. Какое наибольшее количество «интересных» троек может быть в наборе?
Задача 7.
Мог ли Никита на клетчатой доске размером 6 × 6 закрасить ровно половину клеток так, чтобы внутри любого квадрата 3 × 3 этой доски было чётное количество закрашенных клеток?
Задача 8.
Лёлику и Болику дали решить пример на умножение двух натуральных чисел. К сожалению, на типографии произошёл брак — в учебнике последняя цифра одного из чисел плохо пропечаталась, её было сложно разобрать. Лёлик посчитал, что последняя цифра равна 8, и получил ответ, отличающийся от правильного на 16144. Болик подумал, что там не пропечаталась цифра 3, и получил ответ, отличающийся от правильного на 6054. Какая цифра, на самом деле, плохо пропечаталась?
