Задача 1.
Иннокентий придумал числовой ребус: АЛЬФА + АЛЕФ = ФИЛИН (Одинаковыми буквами заменены одинаковые цифры, разными — разные.) Найдите все решения ребуса и объясните, почему других решений нет.
Задача 2.
На доске написано 𝑁 примеров на сложение двух чисел. Двое играют в игру: каждым ходом в один из свободных квадратиков разрешается вписать любое натуральное число или 0. Когда все 3𝑁 чисел вписаны (во всех 𝑁 примерах вписаны оба слагаемых и сумма), игроки выясняют, сколько примеров на доске являются верными. Если хотя бы один пример верен, то выигрывает второй игрок, иначе выигрывает первый игрок. При каких значениях 𝑁 второй игрок может гарантировать себе победу вне зависимости от действий первого игрока?
Задача 3.
Какое наибольшее количество шестиклеточных сапожков можно вырезать из клетчатого прямоугольника 7 × 12?
Задача 4.
Может ли произведение нескольких (больше одного) последовательных натуральных чисел быть равно 99 . . . 998 (2019 девяток и 1 восьмёрка)?
Задача 5.
Три бегуна находятся на круговом стадионе длиной 300 метров, при этом каждый бегун находится на одинаковом расстоянии от двух других бегунов. Они начинают бежать против часовой стрелки со скоростями 3 м/с, 5 м/с и 7 м/с. Через какое время они впервые окажутся в одной точке стадиона?
Задача 6.
2019 детей встали в хоровод, каждый из них был в кепке одного из трёх цветов: белого, синего или красного. Неожиданно прибежали несколько котят и сели между детьми таким образом: если рядом стояли двое детей в кепках разных цветов, то между ними сели 1, 2 или 3 котёнка (1 котёнок между детьми в белой и синей кепках, 2 котёнка между детьми в красной и синей кепках, 3 котёнка между детьми в белой и красной кепках). Между парами детей в одноцветных кепках котята не сели. Могло ли всего между детьми сесть 2019 котят?
Задача 7.
Доску 11 × 11 заполняют числами от 1 до 121 по следующему правилу: в первой строке слева направо записаны числа от 1 до 11 в порядке возрастания, во второй — слева направо от 12 до 22 в том же порядке, и так далее. Может ли сумма в клетках, образующих Z-тетрамино, быть равной 244? (Z-тетрамино можно как угодно поворачивать и переворачивать.)
Задача 8.
В наличии имеется мягкая верёвка длиной 1 метр и деревянная палочка длиной 7 см. Докажите, что с помощью этих инструментов можно отмерить любую длину от 11 до 17 см, выраженную целым числом сантиметров.
