Задача 1.
Харпо нашёл у себя в кармане не совсем обычные часы. Они идут либо в два раза быстрее обычных (то есть правильных часов), либо в два раза медленнее. А именно, смена скорости происходит каждый раз, когда время, которое они показывают, совпадает с правильным временем. В воскресенье в полночь они показывали правильное время и пошли в два раза быстрее. Какое время они будут показывать в среду в 11:40?
Задача 2.
Найдите наименьшее натуральное число, у которого есть три разных собственных делителя с суммой 1001. (Собственный делитель числа — это его натуральный делитель, отличный от 1 и самого числа.)
Задача 3.
По кругу сидят 2019 рыцарей и лжецов. Каждый из них заявил, что его соседи — лжец и рыцарь, но 4 рыцаря при этом ошиблись. Сколько в круге лжецов? (Рыцари всегда говорят правду, лжецы всегда говорят неправду.)
Задача 4.
Клетчатый квадрат 6 × 6 разрезан на клетчатые многоугольники. Оказалось, что каждая линия сетки, пересекающая квадрат, пересекает не менее 𝑘 многоугольников. При каком наибольшем 𝑘 так может быть?
Задача 5.
По кругу разложены 200 карточек с числами от 1 до 20, каждого вида 10 карточек. Докажите, что среди них можно выбрать 90 подряд лежащих так, что среди них будут карточки по крайней мере 10-ти видов и сделать это можно по крайней мере 10-тью способами.
Задача 6.
Вася посетил математический турнир и рассказал, что там было 218 участников, и каждому из них среди остальных участников были знакомы ровно один мальчик и ровно одна девочка. Докажите, что Вася что-то напутал. (Вася был одним из участников турнира.)
Задача 7.
С числом разрешается производить одну из следующих операций: а) умножать на 2; б) прибавлять к нему его последнюю цифру; в) прибавлять к нему его первую цифру. Например, из числа 123 можно получить 124, 126, или 246. Можно ли при помощи таких операций из числа 1 получить число 20192019?
Задача 8.
У барона Мюнхгаузена имеется набор из 10 гирь (среди гирь могут быть и одинаковые). Барон утверждает, что для любого числа 𝑘 от 2 до 8 он может выбрать из этого набора 𝑘 гирь таких, что их масса будет равна ровно половине массы всех гирь. Могут ли слова барона быть правдой?
