Задача 1.
В рыбалке участвовали 7 рыбаков. Любые двое из них поймали различное количество рыбок. Кроме того, оказалось, что любые трое из них поймали вместе не менее 13 рыбок. Какое наименьшее число рыбок могли в сумме поймать все семеро рыбаков?
Задача 2.
Найдите наибольшее натуральное число, которое нельзя представить в виде суммы двух составных чисел.
Задача 3.
У Пети и Васи есть девять карточек с цифрами 1, 2, . . . , 9 и полоска из 9 клеток. Петя и Вася ходят по очереди, начинает Петя. При своём ходе Петя кладёт на свободную клетку любую ещё не использованную карточку, а Вася — две ещё не использованных карточки на две свободных клетки. Если число, которое получится после использования всех карточек, делится на 27, выигрывает Вася, а если нет, то Петя. Кто из игроков может обеспечить себе победу?
Задача 4.
В теннисном турнире участвовали 10 мальчиков и 10 девочек. Каждый из 20 игроков сыграл со всеми остальными по одному разу. Ничьих в теннисе не бывает. Каждой девочке за победу над мальчиком дарили один цветок. Могло ли оказаться так, что все мальчики набрали поровну очков, а у всех девочек одинаковое количество цветов?
Задача 5.
Можно ли числа 1, 2, 3, . . . , 1001 расставить по кругу так, чтобы каждое число делилось на разность своих соседей?
Задача 6.
В кемпинг заехали туристы. На обед каждый из них съел половину банки супа, треть банки тушенки и четверть банки фасоли. Всего они съели 156 банок еды. Сколько было туристов?
Задача 7.
2019 человек, каждый из которых — рыцарь, всегда говорящий правду, или лжец, который всегда лжёт, выстроились в шеренгу. Затем каждый из них сказал: «Количество лжецов слева от меня больше, чем количество рыцарей справа от меня». Сколько в этой шеренге лжецов?
Задача 8.
Квадрат 11 × 11 разбит на квадраты 4 × 4 и прямоугольники 1 × 3 или 3 × 1. Докажите, что в большом квадрате найдётся ряд (строка или столбец), пересекающий нечётное (не делящееся на 2) число фигур разбиения.
