Задача 1.
В квадрате 1000 × 1000 расставлены числа так, что в любом квадрате 2 × 2 сумма левого верхнего числа и правого нижнего числа равна сумме левого нижнего числа и правого верхнего числа. Докажите, что сумма чисел, стоящих в левом верхнем и правом нижнем углах квадрата 1000 × 1000, равна сумме чисел, стоящих в двух других углах.
Задача 2.
У каждой из пяти девочек есть несколько конфет, у всех — разное количество. Оказалось, что у каждых трёх девочек вместе больше конфет, чем у двух остальных. Какое наименьшее количество конфет может быть у всех девочек?
Задача 3.
Числа от 1 до 3000 расставлены по кругу через одинаковые промежутки. Для каждого числа 𝑛 среди следующих за ним по часовой стрелке 1499 чисел и предыдущих 1499 чисел поровну чисел, меньших 𝑛. Какое число стоит напротив числа 2019?
Задача 4.
В классе учатся 10 мальчиков и 15 девочек. Некоторые ученики класса правдивые (то есть всегда говорят правду), а некоторые — лжецы (то есть всегда врут). Однажды каждый ученик сделал заявление. Один мальчик заявил, что в классе не менее одного лжеца, другой — что в классе не менее двух лжецов, третий — что не менее трёх лжецов, и так далее; наконец, десятый мальчик сказал, что лжецов в классе не менее десяти. Одна девочка сказала, что в классе не менее одного правдивого ученика, другая — что не менее двух правдивых, третья – что не менее трёх правдивых, и так далее; наконец, пятнадцатая девочка сказала, что правдивых учеников в классе не менее пятнадцати. Сколько в этом классе лжецов?
Задача 5.
Маша набрала на компьютере очень длинную последовательность 𝐴 из цифр 0, 1 и 2. Таня заметила, что в этой последовательности можно в четырёх местах найти одну и ту же последовательность 𝐵 из 2019 цифр (возможно, эти способы накладываются друг на друга). А Серёжа заметил, что никакую последовательность из 2020 цифр нельзя встретить больше одного раза. Докажите, что последовательность 𝐴 начинается с последовательности 𝐵.
Задача 6.
Вася посетил математический турнир и рассказал, что там было 2018 участников (Вася — один из 2018), и каждому из них среди остальных участников были знакомы ровно один мальчик и ровно одна девочка. Докажите, что Вася что-то напутал.
Задача 7.
Можно ли расставить 100 целых чисел по кругу так, чтобы для любого числа 𝑛 от 101 до 200 среди расставленных чисел нашлись бы три последовательных числа, сумма которых равна 𝑛?
Задача 8.
Клетчатый квадрат 6 × 6 разрезан на клетчатые многоугольники. Оказалось, что каждая линия сетки, пересекающая квадрат, пересекает не менее 𝑘 многоугольников. При каком наибольшем 𝑘 так может быть?
