Можно ли расставить в клетках таблицы 2019 × 2019 все числа от 1 до 2019² (по одному числу в клетке) так, чтобы для каждой клетки таблицы в строке, который содержит эту клетку, или в столбце, который содержит эту клетку, нашлись три числа, одно из которых равно произведению двух других?

Назовём коэффициентом попадания футболиста отношение числа забитых им пенальти к общему числу пробитых им пенальти. В начале сезона у знаменитого футболиста Артёма коэффициент попадания был меньше 3/4, а в конце — больше 3/4. Можно ли наверное утверждать, что в какой-то момент его коэффициент попадания был ровно 3/4?

Число представлено как сумма 99 различных простых чисел. Докажите, что его можно представить как сумму 100 различных составных чисел.

Можно ли расставить по кругу числа 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 так, чтобы ни у каких двух чисел, стоящих рядом, сумма не делилась ни на 3, ни на 5, ни на 7?

Дан квадрат и несколько прямоугольников. Известно, что все стороны прямоугольников меньше стороны квадрата, а сумма периметров всех прямоугольников меньше периметра квадрата. Докажите, что все прямоугольники можно уложить в квадрат без наложений.

Крош и Ёжик по очереди (начинает Крош) ставят в клетки таблицы 5 × 5 натуральные числа от 1 до 25 (каждое число можно использовать только один раз, в клетку можно ставить только одно число). Если после заполнения таблицы найдётся строка или столбец с суммой чисел 70, выигрывает Крош, в противном случае — Ёжик. Кто выиграет при правильной игре?

Каждый ученик 6«Ы» класса посещает не более двух кружков. При этом для каждых двух учеников есть кружок, в который ходят они оба. Докажите, что есть кружок, в который ходит не менее двух третей всех учеников класса.

Вася составляет таблицу квазипростых чисел. Первым квазипростым числом он объявил 2, а потом стал перебирать натуральные числа по порядку, начиная с 3, и объявлять очередное число квазипростым, если его нельзя разложить в произведение двух меньших квазипростых (возможно, одинаковых). Является ли число 1000 квазипростым?