Задача 1.
Можно ли расставить в клетках таблицы 5 × 5 числа от 1 до 25 так, чтобы для каждого числа к содержащей его клетке примыкала по стороне клетка с числом, которое либо делится на него, либо является его делителем?
Задача 2.
На лесном совете встретились 10 делегатов: гномы и эльфы. После обеда каждый делегат назвал количество делегатов, с которыми он обменялся визитками. Один делегат сказал, что обменялся визитками с одним делегатом, трое делегатов — что с двумя, два делегата — что с трёмя, два делегата — что c четырьмя. А ещё двое делегатов не запомнили точно, но сказали, что обменялись визитками или с шестью, или с семью другими делегатами. Гномы менялись визитками только с эльфами, эльфы — только с гномами. Докажите, что кто-то из делегатов ошибся.
Задача 3.
Прямоугольник разрезали на четыре различных прямоугольника. Могло ли так оказаться, что у двух из них одинаковая площадь, но разный периметр, а у двух оставшихся — одинаковый периметр, но разная площадь?
Задача 4.
По кругу стоит 23 человека, каждый из которых является либо рыцарем, либо лжецом. Каждый из них сказал одну из двух фраз: «Среди трёх человек, стоящих слева от меня, есть хотя бы один лжец» или «Среди трёх человек, стоящих справа от меня, есть хотя бы один лжец». Какое наибольшее количество лжецов могло быть среди них?
Задача 5.
Имеется четыре одинаковые по виду гирьки, веса которых равны четырём последовательным натуральным числам. За один рубль можно узнать массу любых трёх выбранных гирек. Можно ли, потратив два рубля, узнать суммарный вес всех гирь?
Задача 6.
На доске написаны числа 1 и 6. За один ход можно выбрать любые два записанные на доске числа 𝐴 и 𝐵 и записать числа 𝐴 + 𝐵 и 𝐴 − 𝐵. Может ли оказаться так, что через 49 ходов на доске будут записаны все числа от 1 до 100?
Задача 7.
Число 100000 раскладывают на 6 попарно различных натуральных сомножителей. Среди всех таких разложений найдите то, в котором наибольший из этих 6 сомножителей — наименьший из всех возможных.
Задача 8.
Футбольный клуб решил потратить некоторую фиксированную сумму денег на знаменитых футболистов Луиша и Фигу. Луиш потребовал половину указанной суммы и ещё не меньше половины от того, что получит Фигу, а Фигу хочет 1/3 всех денег и ещё не меньше трети от того, что получит Луиш. Может ли руководство клуба удовлетворить запросы футболистов?
