Задача 1.
Коля нарисовал клетчатый квадрат 100×100 и вырезал из него 150 клеток. Оказалось, что вырезанные клетки не имеют общих точек и не примыкают к сторонам исходного квадрата. Пришел Никита, посмотрел на получившуюся фигуру и сказал, что из неё можно вырезать уголок из трёх клеток 𝑛 способами. Чему может быть равно 𝑛?
Задача 2.
Возрастающая последовательность 𝑎1 < 𝑎2 < . . . < 𝑎1000 натуральных чисел такова, что все суммы 𝑎1 + 𝑎1000 , 𝑎2 + 𝑎999 , . . . , 𝑎500 + 𝑎501 различны. При каком наименьшем значении 𝑎1000 это возможно?
Задача 3.
Натуральные числа 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 удовлетворяют условию 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = (𝑎 − 𝑏)(𝑏 − 𝑐)(𝑐 − 𝑑)(𝑑 − 𝑎). Докажите, что сумма 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 делится на 8.
Задача 4.
В каждой клетке бесконечного клетчатого поля стоит рыцарь или лжец, причём они могут смотреть в разные стороны. Может ли оказаться, что каждый из них может произнести четыре фразы: «У моего соседа спереди не менее двух соседей являются рыцарями», «У моего соседа справа не менее двух соседей являются рыцарями», «У моего соседа сзади не менее двух соседей являются лжецами», «У моего соседа слева не менее двух соседей являются лжецами»?
