Задача 1.
По кругу стоят 30 мальчиков и девочек. Между каждыми двумя рядом стоящими мальчиками встало ещё по одному мальчику, а между каждыми двумя рядом стоящими девочками — ещё по одной девочке. Могло ли после этого по кругу стоять 45 детей?
Задача 2.
Разрежьте квадрат на 5 прямоугольников, из которых одновременно можно составить 2 разных квадрата.
Задача 3.
В стране Мильтон Гам 13 городов. Некоторые пары городов соединены авиалиниями. Будем говорить, что между городами Ю и Ы есть туристический маршрут, если от Ю можно добраться до Ы так, что все города будут посещены ровно один раз. Может ли так оказаться, что если между двумя городами нет авиалинии, то тогда между ними есть туристический маршрут, а если два города соединены авиалинией, то туристического маршрута между ними нет? (Передвигаться между городами можно только используя авиалинии.)
Задача 4.
Можно ли в клетках таблицы из 15 строк и 16 столбцов расставить натуральные числа, не превосходящие 20 так, чтобы в каждой строке все числа были различны, а во всех столбцах произведения чисел были одинаковы?
Задача 5.
По прямой дороге друг за другом ползут 19 черепах. Скорость первой черепахи 1 дм/мин, второй — 2 дм/мин, ..., десятой — 10 дм/мин, одиннадцатой — 19 дм/мин, двенадцатой — 18 дм/мин, ..., девятнадцатой — 11 дм/мин. Если одна черепаха догоняет другую, то она начинает двигаться с её скоростью. Изначально между соседними черепахами расстояние в 10 метров. Через какое время все черепахи будут двигаться с одной и той же скоростью?
Задача 6.
Сколько существует способов закрасить несколько клеток в прямоугольнике 3×2021 так, чтобы в каждом квадрате 2×2 было ровно 2 закрашенные клетки?
Задача 7.
Великий Путешественник был как-то в стране Намберлэнд и разговорился с двумя числами. Вот что они сказали:
- 1-е: если нас сложить, то получится 909.
- 2-е: а если перемножить, то будет 2020401.
- 1-е: если из одного из нас вычесть другое, то получится 145.
- 2-е: нет, не 145.
С какими числами разговаривал Великий Путешественник, если все чётные числа всегда говорят правду, а нечётные всегда лгут?
Задача 8.
На столе лежат пять кучек орехов. Количество орехов в них 1, 1, 3, 4, 6. За один ход можно к любой кучке добавить столько орехов, сколько сейчас имеется кучек, а потом её разделить на две не обязательно равные кучки. Можно ли при помощи таких операций сделать так, чтобы на столе во всех кучках было поровну орехов?
