Задача 1.
В стране Мильтон Гам 8 городов. Некоторые пары городов соединены авиалиниями. Будем говорить, что между городами Ю и Ы есть туристический маршрут, если от Ю можно добраться до Ы так, что все города будут посещены ровно один раз. Может ли так оказаться, что если между двумя городами нет авиалинии, то тогда между ними есть туристический маршрут, а если два города соединены авиалинией, то туристического маршрута между ними нет? (Передвигаться между городами можно только используя авиалинии.)
Задача 2.
Сколько существует способов закрасить несколько клеток в прямоугольнике 2×2021 так, чтобы в каждом квадрате 2×2 было ровно 2 закрашенные клетки?
Задача 3.
По кругу написано 2021 натуральное число с общей суммой 7080. Докажите, что можно найти хотя бы две пары соседних чисел, в каждой из которых сумма чисел не меньше 8.
Задача 4.
На столе лежат пять кучек орехов. Количество орехов в них 1, 1, 2, 3, 4. За один ход можно к любой кучке добавить столько орехов, сколько сейчас имеется кучек, а потом её разделить на две не обязательно равные кучки. Можно ли при помощи таких операций сделать так, чтобы на столе во всех кучках было поровну орехов?
