Задача 1.
У мамы есть четыре фишки, на которых написаны числа 1, 2, 3 и 4 (по одному на каждой фишке). Мама взяла в каждую руку по две фишки не глядя (так что она не знает, какие фишки у неё в какой руке). Она попросила Аню взять у неё из каждой руки фишку с большим числом, а потом из двух взятых фишек оставить себе ту, на которой число меньше. Затем она попросила Борю взять две оставшиеся фишки и оставить себе ту, на которой число больше. Может ли мама гарантированно определить, у кого из детей осталась фишка с большим числом?
Задача 2.
Звезда баскетбола Стефен Карри с начала игры совершил 25 бросков с процентом попадания 64%. После того, как он сделал ещё 𝑑 бросков, процент попаданий (для всех совершенных бросков) составил 75%, а по завершении игры, когда он совершил ещё 𝑑 бросков, процент попаданий для всех сделанных бросков составил 60%. Какое наименьшее количество бросков Карри мог совершить за всю игру?
Задача 3.
На острове живёт 2021 человек, каждый из которых либо смотрит телевизор, либо пользуется Интернетом. Некоторые жители острова знакомы друг с другом, причём у каждого есть хотя бы один знакомый. Люди, у которых среди знакомых больше телезрителей, чем пользователей Интернета, всегда врут, а остальные всегда говорят правду. Каждый житель острова заявил, что у него ровно два знакомых телезрителя. Докажите, что хотя бы у одного жителя не менее 4 знакомых.
Задача 4.
Для каких натуральных 𝑛 число (12)! + (22)! + (32)! + ... + (𝑛2)! является точным квадратом?
Задача 5.
Для действительных чисел 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑥, 𝑦, 𝑧 выполнены равенства 𝑎 + 𝑦 = 𝑏 + 𝑥 и 𝑏 + 𝑧 = 𝑐 + 𝑦. Известно, что (𝑎 + 𝑦 + 𝑧)2 − 𝑥2 − 𝑦2 − 𝑧2 = 2021. Найдите все возможные значения выражения (𝑥 + 𝑏 + 𝑐)2 − 𝑎2 − 𝑏2 − 𝑐2.
Задача 6.
Дан пятиугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸 такой, что 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷 = 𝐷𝐸, ∠𝐶 = ∠𝐷 = 108°, ∠𝐵 = 96°. Найдите ∠𝐸.
Задача 7.
Суперделителем составного натурального числа 𝑛 назовём самый большой делитель 𝑛, отличный от самого 𝑛. Найдите все тройки составных чисел, каждое из которых кратно произведению суперделителей двух остальных.
Задача 8.
В выпуклом 2021-угольнике проведены несколько диагоналей. Проведенная диагональ называется хорошей, если она пересекается во внутренних точках ровно с одной из остальных проведённых диагоналей (не обязательно хорошей). Какое наибольшее количество хороших диагоналей может получиться?
