Задача 1.
При каком наибольшем 𝑛 верно следующее утверждение: если натуральные числа 𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑 удовлетворяют условию 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 = (𝑎 − 𝑏)(𝑏 − 𝑐)(𝑐 − 𝑑)(𝑑 − 𝑎), то сумма 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 делится на 𝑛?
Задача 2.
В стране Ориентация некоторые города соединены дорогами с односторонним движением. Известно, что для каждых двух городов 𝐴 и 𝐵 существуют по крайней мере два разных маршрута по этим дорогам, в каждом из которых один из городов 𝐴 и 𝐵 служит началом, а другой концом. Докажите, что существует город, из которого можно выехать и вернуться в него. (Города могут соединяться не более, чем одной дорогой.)
Задача 3.
Никита взял клетчатый прямоугольник и сложил его несколько раз по линиям сетки. В итоге у него получился прямоугольник 1 × 2. Он разрезал этот прямоугольник ровно посередине вдоль длинной стороны, после чего развернул. У него получилось 13 частей. Сколько среди них могло оказаться различных?
Задача 4.
На доске написано число 2021!. Аня и Боря делают ходы по очереди (начинает Аня). Каждым ходом игрок должен разделить число, написанное на доске, на некоторое натуральное число, большее 1 и свободное от квадратов (то есть не делящееся на квадрат натурального числа, большего 1). Полученное число записывается на доску вместо предыдущего. Проигрывает тот, кто напишет на доске нецелое число. Кто выиграет при правильной игре?
Задача 5.
Возрастающая последовательность 𝑎1 < 𝑎2 < . . . < 𝑎1000 натуральных чисел такова, что все суммы 𝑎1 + 𝑎1000 , 𝑎2 + 𝑎999 , . . . , 𝑎500 + 𝑎501 различны. При каком наименьшем значении 𝑎1000 это возможно?
Задача 6.
На стороне 𝐵𝐶 равнобедренного треугольника 𝐴𝐵𝐶 с основанием 𝐴𝐶 выбрали точки 𝑁 и 𝑀 так, что точка 𝑁 лежит между 𝐵 и 𝑀, 𝑁𝑀 = 𝐴𝑀 и ∠𝑀𝐴𝐶 = ∠𝐵𝐴𝑁 . Найдите ∠𝐶𝐴𝑁 .
Задача 7.
Натуральные числа 𝑎 и 𝑏 таковы, что 5𝑎 + 3𝑏 делится на 𝑎 + 𝑏. Докажите, что 𝑎 = 𝑏.
Задача 8.
Коля нарисовал клетчатый квадрат 100×100 и вырезал из него 150 клеток. Оказалось, что вырезанные клетки не имеют общих точек и не примыкают к сторонам исходного квадрата. Пришел Никита, посмотрел на получившуюся фигуру и сказал, что из неё можно вырезать уголок из трёх клеток 𝑛 способами. Чему может быть равно 𝑛?
