Задача 1.
Число 1000000 раскладывают на 7 попарно различных натуральных сомножителей. Среди всех таких разложений найдите то, в котором наибольший из этих 7 сомножителей — наименьший из всех возможных.
Задача 2.
Робот находится на прямой в точке с координатой m/1024, где 𝑚 < 1024 — натуральное число, и может двигаться по этой прямой налево или направо. Два игрока играют в такую игру: на каждом ходу Андрей задаёт расстояние, а Петя – направление движения, и робот движется в заданном направлении на заданное расстояние из точки, в которой он находится. Андрей выиграет, если после очередного хода робот придёт в точку с координатами 0 или 1; Петя старается ему помешать. При каких 𝑚 Андрей сможет выиграть (время игры не ограничено)?
Задача 3.
Можно ли покрасить все стороны и диагонали правильного 2021-угольника в несколько цветов так, чтобы для каждой пары вершин 𝐴 и 𝐵 существовала ровно одна вершина 𝐶, отличная от 𝐴 и 𝐵, такая, что все стороны треугольника 𝐴𝐵𝐶 одинакового цвета?
Задача 4.
Число представимо в виде суммы 𝑘, 𝑘 + 1, 𝑘 + 2 последовательных натуральных чисел. Докажите, что оно не представимо в виде суммы 𝑘 + 3 последовательных натуральных чисел.
Задача 5.
Дан четырёхугольник 𝐴𝐵𝐶𝐷 такой, что 𝐴𝐵 = 𝐵𝐶 = 𝐶𝐷, ∠𝐵 = 90°, ∠𝐶 = 150°. Найдите наименьший угол этого четырёхугольника.
Задача 6.
В турнире по игре в балду (в которой, как известно, ничьих не бывает) играли мальчики и девочки. Каждые два участника сыграли между собой ровно одну игру. Каждый участник проиграл хотя бы один раз, и числа проигрышей у всех мальчиков различны. Докажите, что какая-то девочка обыграла какого-то мальчика.
Задача 7.
Числа 𝑎 и 𝑏 удовлетворяют условию 2𝑎 + 𝑎2 = 2𝑏 + 𝑏2. Докажите, что если число 𝑎 целое, то число 𝑏 тоже целое.
Задача 8.
Для каких натуральных 𝑛 можно расставить во всех клетках таблицы 𝑛 × 𝑛 числа 2 и −1 так, чтобы сумма чисел в каждой строке и в каждом столбце была равна 0?
