Задача 1.
Назовём число суперпростым, если сумма его цифр – простое число. Назовём число суперпуперпростым, если сумма его цифр — суперпростое число. Какое наибольшее количество последовательных натуральных чисел могут быть суперпуперпростыми?
Задача 2.
В каждой клетке таблицы 5 × 5 написано одно из натуральных чисел от 1 до 5 так, что каждое число от 1 до 5 ровно один раз написано в каждой строке и в каждом столбце. Число называется хорошо расположенным, если выполняются оба следующих условия:
- в строке, в которой находится это число, все числа слева от него меньше его, а все числа справа от него больше, или наоборот;
- в столбце, в котором находится это число, все числа снизу от него меньше его, а все числа сверху от него больше, или наоборот.
Какое наибольшее количество чисел в таблице может быть хорошо расположено?
Задача 3.
Андрей и Боря по очереди (начинает Андрей) проводят в прямоугольнике 1 × 2 горизонтальные отрезки длины 2 или вертикальные отрезки длины 1 (с концами на сторонах прямоугольника). После каждого хода они подсчитывают суммарный периметр всех кусков, на которые проведённые отрезки разбивают исходный прямоугольник. Побеждает тот игрок, после хода которого суммарный периметр впервые поделится на 2021. Кто выиграет при правильной игре?
Задача 4.
Можно ли расставить на плоскости семь башен так, чтобы с каждой было видно ровно четыре других? (С одной башни видно другую, если на соединяющем их отрезке нет других башен.)
Задача 5.
Клетки некоторой клетчатой фигуры на плоскости раскрашены в красный, жёлтый и зелёный цвета так, что любые две клетки, имеющие общую сторону, разного цвета. Эту фигуру двумя способами разбили на доминошки (прямоугольники 1 × 2). Докажите, что количество доминошек, у которых одна клетка красная, а другая зелёная, в этих способах одинаково.
Задача 6.
На стороне 𝐴𝐵 остроугольного треугольника 𝐴𝐵𝐶 выбрана точка 𝐾. Точка 𝑀 — середина стороны 𝐵𝐶. Отрезки 𝐴𝑀 и 𝐶𝐾 пересекаются в точке 𝐹. Оказалось, что 𝐾𝐹 = 𝐴𝐾. Докажите, что 𝐶𝐹 = 𝐴𝐵.
Задача 7.
Найдите все простые числа 𝑝, для которых числа (𝑝 − 1)/2 и (𝑝 + 1)/4 тоже простые.
Задача 8.
На доске написано число 12345. Можно прибавлять к числу на доске любую его ненулевую цифру. Можно ли повторить эту операцию десять тысяч раз так, чтобы после каждой операции число на доске оставалось нечётным?
