Задача 1.
Решите в простых числах уравнение 𝑝2 − 17𝑞2 = 16.
Задача 2.
Клетчатый квадрат разбит на 64 одинаковых квадратика. Какую наибольшую длину может иметь замкнутая несамопересекающаяся ломаная, идущая по сторонам этих квадратиков?
Задача 3.
По кругу написано 2021 натуральное число с общей суммой 7078. Докажите, что можно найти хотя бы две пары соседних чисел, в каждой из которых сумма чисел не меньше 8.
Задача 4.
В какой-то момент хоккейного сезона отношение количества точных бросков к количеству всех бросков у знаменитого хоккеиста Уэйна Турецки было меньше 𝑘/6, а по завершении стало больше 𝑘/6. Для каких натуральных 𝑘 от 1 до 5 можно наверное утверждать, что в какой-то момент это отношение равнялось 𝑘/6?
Задача 5.
В треугольнике 𝐴𝐵𝐶 проведены биссектрисы 𝐴𝐴1 и 𝐶𝐶1. Докажите, что если длины перпендикуляров, опущенных из вершины 𝐵 на прямые 𝐴𝐴1 и 𝐶𝐶1, равны, то треугольник 𝐴𝐵𝐶 равнобедренный.
Задача 6.
В школе провели 44 олимпиады, на каждой из которых вручили дипломы ровно 7 школьникам. Для каждых двух олимпиад есть ровно один школьник, получивший дипломы на обеих. Обязательно ли существует школьник, получивший дипломы на всех олимпиадах?
Задача 7.
Арним и Брентано играют в игру на полоске из 2021 клетки, которые занумерованы слева направо числами от 1 до 2021. У игроков есть 2021 фишка — фишки также занумерованы числами от 1 до 2021. Игроки ходят по очереди, начинает Арним. Своим ходом игрок может выполнить одно из следующих двух действий:
- поставить на любое свободное поле любую фишку, если после этого номера всех выставленных на полоску фишек будут расположены слева направо в порядке возрастания;
- передвинуть любую стоящую на полоске фишку на соседнее (слева или справа) поле, если это поле свободно и фишка при этом приблизится к клетке со своим номером.
Проигрывает не имеющий хода. Кто выиграет при правильной игре?
Задача 8.
По кругу стоят 2020 учеников, у каждого из которых есть несколько конфет. Второй ученик передал первому столько своих конфет, сколько у того было перед этим; потом третий передал второму столько конфет, сколько на этот момент было у второго; четвёртый передал третьему столько своих конфет, сколько у него было и т.д. Наконец, 2020-й передал по такому же правилу конфеты 2019-му, а потом первый — 2020-му. Оказалось, что по завершении этих событий ни у одного ученика количество конфет не изменилось. Известно, что в начале наименьшее количество конфет было у ученика с 2021 конфетой. А сколько конфет было в начале у того ученика, который имел больше всего конфет?
