Задача 1.
На ленте записано число 123456789. Каждый ход Дима называет число 𝑘 от 1 до 9, после чего Альфатрон-2021 стирает первые 𝑘 цифр числа с ленты и записывает их в его конец в обратном порядке. (Например, если первым ходом Дима назовёт число 4, то получится 567894321.) Докажите, что такими операциями можно расставить цифры в любом порядке.
Задача 2.
Дана белая доска 9 × 9. Можно ли так закрасить 27 клеток в чёрный цвет, чтобы в каждом пятиклеточном уголке (рисунок ниже) было не более двух закрашенных клеток?
Задача 3.
В каждой клетке таблицы 6 × 6 стоит натуральное число. Оказалось, что в каждой фигурке 𝑇 –тетрамино, размещённой по линиям сетки, сумма чисел чётна. Обязательно ли сумма чисел во всей таблице чётна?
Задача 4.
В игре в Космический Бой поле представляет из себя куб 5 × 5 × 5, а корабли представляют из себя параллелепипеды 1 × 1 × 3. При этом (как и в обычном Морском Бою) корабли не должны соприкасаться даже уголками. Какое наибольшее число кораблей можно разместить на указанном поле?
Задача 5.
Разрежьте данную фигуру (рисунок ниже) трёмя прямолинейными разрезами на четыре части так, чтобы сумма площадей двух из них была равна сумме площадей двух других.
Задача 6.
Даны 5 камней попарно различной массы. Известно, что самый тяжёлый камень весит меньше, чем два самых лёгких камня. Петя взвесил первый, второй и третий камень, их суммарная масса оказалась равна 640 г. Затем он взвесил второй, третий и четвёртый камень, их суммарная масса оказалась равна 700 г. В третий раз Петя взвесил третий, четвёртый и пятый камень. Их суммарная масса оказалась равна 660 г. Докажите, что все пять камней в сумме весят больше 1 кг.
Задача 7.
Пятизначное число 9𝑎65𝑏 делится на 36. Чему могут быть равны цифры 𝑎 и 𝑏? Приведите все варианты и докажите, что других нет.
Задача 8.
На конференцию приехали 100 человек, каждый из которых является рыцарем или лжецом. Во время церемонии открытия некоторые из них пожали друг другу руки. После этого первый заявил: «Я пожал руку 99 рыцарям». Второй сказал: «Я пожал руку 98 рыцарям», и так далее. Сотый человек заявил: «Я не пожал руку ни одному рыцарю». Сколько рыцарей приехало на конференцию?
