Палиндромом называется число, которое не изменяется, если записать его цифры в обратном порядке. Найдите наибольший общий делитель всех четырёхзначных палиндромов.

У Пети есть 65 шариков, каждый из которых покрашен в один из четырёх цветов: красный, жёлтый, зелёный или синий. При этом шарики могут отличаться не только по цвету, но и по размеру. Петя разложил шарики в две коробки. Известно, что, если извлечь пять шариков из любой коробки, среди них окажутся два шарика одинакового размера. Докажите, что можно найти три шарика одного цвета и одного размера, лежащих в одной коробке.

Цикл жизни каждого дерева состоит из месяца цветения, месяца плодов и месяца листопада. В месяц цветения на дереве появляется некоторое число листьев, в месяц плодов оно утраивается, а в месяц листопада уменьшается в два раза. У берёзы месяц цветения в апреле, у яблони — в мае. У бабушки Дуси в саду растут яблоня и берёза. В мае на них было в сумме 10 тысяч листьев, а в июле — 15 тысяч. Сколько листьев было на берёзе в мае?

Дана клетчатая доска 𝑛 × 𝑚. Антонио посчитал количество способов вырезать из этой доски по линиям сетки квадрат 2 × 2, а Борисио посчитал количество способов вырезать из этой доски доминошку. Оказалось, что число Антонио в 4 раза больше числа Борисио. Найдите все возможные размеры данной доски.

По кругу нарисовано 2022 белых кружочка. Двое играют в игру, закрашивая кружочки по очереди в чёрный цвет. Первый игрок своим ходом всегда закрашивает один кружочек, а второй закрашивает два кружочка. Нельзя красить кружочек, если его сосед уже закрашен в чёрный цвет. Кроме того, повторно красить кружочек тоже нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его соперник?

В Волшебной Стране живут говорящие числа, причём все чётные числа всегда говорят правду, а все нечётные числа всегда лгут. Однажды встретились три числа и сообщили следующее:

• «Наша сумма нечётна» — сообщило первое.
• «Наше произведение нечётно» — заметило второе.
• «Я число простое!» — заявило третье.

Определите хотя бы одно из чисел.

1 января 2021 года утром в волшебном дворце собрались волшебницы. Каждый день года в полдень у всех волшебниц, кроме одной, увеличивается красота и магическая сила, а у оставшейся волшебницы увеличивается только один из этих параметров, а другой либо уменьшается, либо остаётся прежним. К вечеру 31 декабря 2021 года оказалось, что у всех волшебниц красота и магическая сила оказались прежними. Какое наибольшее количество волшебниц могло собраться во дворце?

Рёмер придумал ребус БИП + БИП + КАР + КАР = ААА. Одинаковыми буквами заменены одинаковые цифры, разными — разные. Найдите все решения ребуса и объясните, почему других решений нет.