Задача 1.
В клетках квадрата 3 × 3 расставлены натуральные числа. За один ход разрешается выбрать любой квадрат 2 × 2 и в этом квадрате поменять местами левое верхнее число с правым нижним, а левое нижнее с правым верхним. (Обе смены обязательны.) Можно ли такими операциями из левой расстановки чисел получить правую:
Задача 2.
У Пети есть 100 шариков, каждый из которых покрашен в один из четырёх цветов: красный, жёлтый, зелёный или синий. При этом шарики могут отличаться не только по цвету, но и по размеру. Петя разложил шарики в три коробки. Известно, что, если извлечь пять шариков из любой коробки, среди них окажутся два шарика одинакового размера. Докажите, что можно найти три шарика одного цвета и одного размера, лежащих в одной коробке.
Задача 3.
Цикл жизни каждого дерева состоит из месяца цветения, месяца плодов и месяца листопада. В месяц цветения на дереве появляется некоторое число листьев, в месяц плодов оно утраивается, а в месяц листопада уменьшается в два раза. У берёзы месяц цветения в апреле, у яблони — в мае. У бабушки Дуси в саду растут яблоня и берёза. В мае на них было в сумме 10 тысяч листьев, а в июне — 15 тысяч. Сколько листьев было на берёзе в апреле?
Задача 4.
Дана клетчатая доска 𝑛 × 𝑚. Антонио посчитал количество способов вырезать из этой доски по линиям сетки квадрат 2 × 2, а Борисио посчитал количество способов вырезать из этой доски доминошку. Оказалось, что число Борисио в 4 раза больше числа Антонио. Найдите все возможные размеры данной доски.
Задача 5.
По кругу нарисовано 2022 белых кружочка. Двое играют в игру, закрашивая кружочки по очереди в чёрный цвет. Антон своим ходом всегда закрашивает один кружочек, а Белла закрашивает два кружочка. Нельзя красить кружочек, если его сосед уже закрашен в чёрный цвет. Кроме того, повторно красить кружочек тоже нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто из ребят выигрывает при правильной игре?
Задача 6.
На доске написано несколько (не менее трёх) простых чисел. Известно, что если сложить любые два из них и из результата вычесть 7, получится одно из написанных чисел. Какие числа могут быть на доске?
