Задача 1.
Решите в натуральных числах уравнение: 𝑛! + 79 = (𝑛 + 𝑚)2.
Задача 2.
Имеется клетчатая доска размером 9 × 9. Все клетки с обеими чётными координатами вырезаны (то есть вырезано 16 клеток, см. рисунок). В левом нижнем углу доски стоит кубик, у которого испачкана чернилами верхняя грань. Сколько клеток можно испачкать, катая кубик по доске, если скатывать с доски и ронять в дырки кубик нельзя?
Задача 3.
В трёх коробках суммарно лежат 100 шариков: красные, зелёные, жёлтые и синие. Шарики могут отличаться не только по цвету, но и по размеру. Известно, что, если извлечь пять шариков из любой коробки, среди них окажутся два шарика одинакового размера. Докажите, что можно найти три шарика одного цвета и одного размера, лежащих в одной коробке.
Задача 4.
У Сизифа есть несколько камней, каждый из которых весит не более десяти талантов. Он заметил, что при любом разбиении камней на две группы в одной из них суммарный вес будет не больше десяти талантов. Каков наибольший возможный суммарный вес всех камней?
