Задача 1.
Даны 5 камней попарно различной массы. Известно, что самый тяжёлый камень весит меньше, чем два самых лёгких камня. Петя взвесил первый, второй и третий камень, их суммарная масса оказалась равна 640 г. Затем он взвесил второй, третий и четвёртый камень, их суммарная масса оказалась равна 700 г. В третий раз Петя взвесил третий, четвёртый и пятый камень. Их суммарная масса оказалась равна 660 г. Докажите, что все пять камней в сумме весят больше 1 кг.
Задача 2.
В каждой клетке таблицы 5 × 5 стоит натуральное число. Оказалось, что в каждой фигурке 𝑇 –тетрамино, размещённой по линиям сетки, сумма чисел кратна 3. Обязательно ли сумма чисел во всей таблице делится на 3?
Задача 3.
Решите в натуральных числах уравнение (𝑚 − 𝑛)2 = 22(𝑚 + 𝑛 + 1).
Задача 4.
В руюкском алфавите 11 букв. Для каждого натурального 𝑘 ровно пять 𝑘-буквенных слов руюкского языка считаются неприличными. Докажите, что руюкским алфавитом можно написать слово из 2021 буквы, которое нельзя разрезать на два слова, хотя бы одно из которых неприличное. (Словом в руюкском языке считается любая последовательность букв руюкского алфавита.)
Задача 5.
Вася нарисовал на поле 9 × 9 корабль из 8 клеток, представляющий собой квадрат 3 × 3 без центральной клетки. Петя стреляет по кораблю (то есть по очереди называет клетки поля). Сколько выстрелов нужно сделать Пете, чтобы наверняка попасть в корабль хотя бы два раза? К сожалению, по ходу игры Вася не говорит Пете, попал тот или нет.
Задача 6.
Никита купил на осенней ярмарке арбуз, дыню и тыкву. Известно, что если бы арбуз стоил на 130 % дороже, а дыня на 170 % дороже, а цена тыквы не изменилась, то общая стоимость покупки выросла бы в 2 раза. Также известно, что если бы арбуз стоил на 40 % дешевле, дыня на 60 % дешевле, а тыква на 50 % дешевле, то общая стоимость покупки была бы в 2 раза меньше. Что стоит дороже: дыня или тыква?
Задача 7.
Можно ли все натуральные числа от 1 до 2021 раскрасить в 17 цветов так, чтобы чисел каждого цвета было хотя бы 100, и среди чисел каждого цвета было среднее арифметическое всех чисел этого цвета?
Задача 8.
На конференцию приехали 100 человек, каждый из которых является рыцарем или лжецом. Во время церемонии открытия некоторые из них пожали друг другу руки. После этого первый заявил: «Я пожал руку 99 рыцарям». Второй сказал: «Я пожал руку 98 рыцарям», и так далее. Сотый человек заявил: «Я не пожал руку ни одному рыцарю». Сколько рыцарей приехало на конференцию?
