Задача 1.
Дана клетчатая доска 𝑛 × 𝑚, причём 𝑚, 𝑛 > 1. Антонио посчитал количество способов вырезать из этой доски по линиям сетки квадрат 2 × 2, а Борисио посчитал количество способов вырезать из этой доски прямоугольник 1 × 2 или 2 × 1. Оказалось, что число Антонио в 4 раза меньше числа Борисио. Найдите все возможные размеры доски 𝑛 × 𝑚.
Задача 2.
На доске написано несколько (не менее трёх) простых чисел. Известно, что если сложить любые два из них и из результата вычесть 7, получится одно из написанных чисел. Какие числа могут быть на доске?
Задача 3.
Цикл жизни каждого дерева состоит из месяца цветения, месяца плодов и месяца листопада. В месяц цветения на дереве появляется некоторое число листьев, в месяц плодов оно утраивается, а в месяц листопада уменьшается в два раза. У берёзы месяц цветения в апреле, у яблони — в мае. У бабушки Дуси в саду растут яблоня и берёза. В мае на них было в сумме 10 тысяч листьев. Может ли в июне на обоих деревьях в сумме быть 11111 листьев?
Задача 4.
Никита придумал новую шахматную фигуру «Верблюд», которая ходит по шахматной доске ходом типа (2,3) или (3,2), то есть сдвигается на 2 клетки по одному направлению и на 3 клетки по другому направлению. Например, обычный шахматный конь ходит по доске ходами типа (1,2) или (2,1). Можно ли разместить на шахматной доске 4 ладьи и 16 «верблюдов», чтобы все 20 фигур попарно не били друг друга?
Задача 5.
В двух коробках суммарно лежат 65 шариков: красные, зелёные, жёлтые и синие. Шарики могут отличаться не только по цвету, но и по размеру. Известно, что, если извлечь пять шариков из любой коробки, среди них окажутся два шарика одинакового размера. Докажите, что можно найти три шарика одного цвета и одного размера, лежащих в одной коробке.
Задача 6.
1 января 2021 года утром в волшебном дворце собрались волшебницы. Каждый день года в полдень у всех волшебниц, кроме одной, увеличивается красота и магическая сила, а у оставшейся волшебницы увеличивается только один из этих параметров, а другой либо уменьшается, либо остаётся прежним. К вечеру 31 декабря 2021 года оказалось, что у всех волшебниц красота и магическая сила оказались прежними. Какое наибольшее количество волшебниц могло собраться во дворце?
Задача 7.
В Волшебной Стране живут говорящие числа, причём все чётные числа всегда говорят правду, а все нечётные числа всегда лгут. Однажды встретились три числа и сообщили следующее:
- «Наша сумма нечётна» — сообщило первое.
- «Наше произведение нечётно» — заметило второе.
- «Я число простое!» — заявило третье.
Определите хотя бы одно из чисел.
Задача 8.
По кругу нарисовано 2022 белых кружочка. Двое играют в игру, закрашивая кружочки по очереди в чёрный цвет. Первый игрок своим ходом всегда закрашивает один кружочек, а второй закрашивает два кружочка. Нельзя красить кружочек, если его сосед уже закрашен в чёрный цвет. Кроме того, повторно красить кружочек тоже нельзя. Проигрывает тот, кто не может сделать ход. Кто выигрывает при правильной игре: начинающий или его соперник?
