Задача 1.
Сумма трёх отличных от нуля вещественных чисел 𝑎, 𝑏, 𝑐 равна 0. Докажите, что
$$ \frac{a^3-a^2+b^3-b^2+c^3+c^2}{a b}=3 c+2 $$
Задача 2.
Можно ли расставить по кругу 60 положительных и 40 отрицательных целых чисел, каждое из которых больше суммы двух чисел, идущих за ним по часовой стрелке?
Задача 3.
Найдите все четвёрки разных двузначных чисел, удовлетворяющих условиям:
- сумма тех из них, в записи которых содержится цифра 2, равна 80;
- сумма тех из них, в записи которых содержится цифра 3, равна 90;
- сумма тех из них, в записи которых содержится цифра 5, равна 60.
Задача 4.
Для натурального числа 𝑛 > 1 обозначим 𝐿(𝑛) наибольший натуральный делитель числа 𝑛, который не равен 𝑛. Например, 𝐿(12) = 6, 𝐿(5) = 1. Положим также 𝐿(1) = 𝐿(0) = 0. Найдите все натуральные 𝑛, для которых:
$$ n+L(n)+L(L(n))+\cdots+\underbrace{L(\ldots L(n) \ldots)}_{n \text { раз }}=2018 $$
Задача 5.
Два угла выпуклого пятиугольника равны 60°. Докажите, что не все стороны пятиугольника равны. (Пятиугольник называется выпуклым, если все его углы меньше 180°)
Задача 6.
Каждые два города страны соединены прямым автобусным или авиасообщением.
- Клика — это набор городов, попарно соединённых авиарейсами.
- Клюка — это набор городов, попарно соединённых авиарейсами и при этом таких, что из них выходит одинаковое количество автобусных маршрутов.
- Кляка — это набор городов, попарно соединённых авиарейсами и при этом таких, что из любых двух из них выходит разное количество автобусных маршрутов.
Докажите, что количество городов в любой клике не превосходит произведения максимально возможного количества городов в клюке и максимально возможного количества городов в кляке.
Задача 7.
Дано натуральное число 𝑛. У Арнима и Брентано есть полоска из 2021 клетки. В начале игры Арним выбирает клетку и кладёт на неё камешек. Затем каждую минуту Брентано называет натуральное число, не превосходящее 𝑛, а Арним двигает камешек на названное Брентано число клеток (влево или вправо, по своему выбору). Брентано выигрывает, если Арним не может сделать ход. Найдите наименьшее 𝑛, при котором Брентано заведомо сможет выиграть.
Задача 8.
Вася по очереди ставит крестики и нолики в клетки таблицы 2 × 𝑛 (начиная с крестика). Когда Вася заполняет все клетки, ему платят 1 рубль за каждый ряд (строчку или столбец), в котором крестиков больше, чем ноликов, и отбирают у него 1 рубль за каждый ряд, в котором ноликов больше, чем крестиков. Какой наибольший заработок может обеспечить себе Вася? (Ответ может зависеть от 𝑛.)
