Задача 1.
Квадрат 10 × 10 разрезают на одну полоску 1 × 4 и 48 доминошек (прямоугольников 1 × 2). Докажите, что число таких разрезаний чётно. (Два разрезания считаются различными, если какие-то две клетки в одном из них принадлежат одной фигурке, а в другом — разным.)
Задача 2.
Число вида 1 + 2 + ... + 𝑛 = 𝑛(𝑛+1)/2 называется треугольным. Известно, что сумма двух треугольных чисел — степень двойки. Верно ли, что их разность — тоже степень двойки?
Задача 3.
В двух (не обязательно выпуклых) четырёхугольниках 𝐴𝐵𝐶𝐷 и 𝐴'𝐵'𝐶'𝐷' выполняются равенства 𝐴𝐵 = 𝐴'𝐵', 𝐵𝐶 = 𝐵'𝐶', 𝐶𝐷 = 𝐶'𝐷', 𝐴𝐶 = 𝐴'𝐶' и 𝐵𝐷 = 𝐵'𝐷'. Обязательно ли эти четырёхугольники равны?
Задача 4.
На доске написаны 6 попарно различных двузначных чисел. Для каждой пары этих чисел Петя поделил большее из них на меньшее с остатком и записал в тетрадку неполное частное. Докажите, что в тетрадке найдутся два равных числа.
Задача 5.
Зарплата Ани составляет 5/8 от зарплаты Кати, а расходует Аня в два раза меньше, чем Катя. После всех расходов у Ани остаётся 40 % её заработка. А сколько процентов заработка остаётся после расходов у Кати?
Задача 6.
В чемпионате участвовали 6 спортсменов, которые заняли места с первого по шестое. Однако после допинг-контроля часть спортсменов дисквалифицировали, а их результаты удалили из итоговой таблицы. Оказалось, что все честные спортсмены поднялись в итоговой таблице на разное число мест (кто-то мог подняться на 0 мест, то есть не изменить свою позицию). Какое наименьшее количество спортсменов могло быть дисквалифицировано?
Задача 7.
Имеется 9 карточек, на которых написаны числа 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14. Ане, Боре и Васе раздали по три карточки. Каждый посмотрел на свои карточки, после чего Аня сказала, что наибольшее из её трёх чисел — 11. Тогда Боря сказал, что знает, какие числа у каждого. Какие числа у Васи?
Задача 8.
На доске написаны 5 различных натуральных чисел. Известно, что сумма любых трёх из них больше суммы остальных двух. Какое наименьшее число может встретиться на доске?
