Задача 1.
Назовём семиугольник прикольным, если у него есть четыре прямых угла. Докажите, что любой прикольный семиугольник можно разрезать на три прикольных семиугольника.
Задача 2.
Можно ли числа от 1 до 2022 раскрасить в красный и зелёный цвета так, чтобы чисел двух цветов было поровну, среднее арифметическое всех красных чисел было целым и красным, а среднее арифметическое всех зелёных – целым и зелёным?
Задача 3.
Найдите все пары натуральных чисел 𝑥, 𝑦, для которых выполняются условия 2200 < 𝑥𝑦 < 2300 и 0,85 < 𝑥 / 𝑦 < 0,9.
Задача 4.
Решите в натуральных числах уравнение (𝑚 + 𝑛 + 2)2 = 3(𝑚𝑛 + 1).
Задача 5.
300 человек без антител приняли участие в испытании вакцины. Некоторым вкололи вакцину, а некоторым — физраствор. Участники испытания не знают, что им вкололи. В результате из получивших вакцину антитела обнаружились у 80 %, а из не получивших – у 20 %. В целом антитела образовались у 40 % участников испытания. Скольким участникам вводили вакцину?
Задача 6.
В руюкском алфавите 11 букв. Для каждого натурального 𝑘 ровно десять 𝑘-буквенных слов руюкского языка считаются неприличными. Докажите, что руюкским алфавитом можно написать слово из 2021 буквы, которое не будет начинаться ни с какого неприличного слова (и само не будет неприличным). Словом в руюкском языке считается любая последовательность букв руюкского алфавита.
Задача 7.
Некоторое натуральное число делится ровно на четыре из пяти чисел 6, 15, 20, 21, 70. На какие?
Задача 8.
Вася отметил на поле 8 × 8 квадрат 4 × 4. Петя стреляет по этому квадрату (то есть по очереди называет клетки поля). Какое наименьшее количество выстрелов нужно сделать Пете, чтобы наверняка попасть в отмеченный квадрат хотя бы два раза? К сожалению, по ходу игры Вася не говорит Пете, попал тот или нет.
