Задача 1.
Вася покатался на лифте в 21-этажном доме, и теперь в этом лифте работают только четыре кнопки: «+3», «−3», «+5», «−5» (при нажатии на которые лифт едет соответственно на три этажа вверх, на три этажа вниз, на пять этажей вверх и на пять этажей вниз). Водопроводчик Степан находится на первом этаже и хочет объехать все остальные. Как ему это сделать, нажав на кнопку не более 22 раз?
Задача 2.
Клетки доски 2021 × 2022 раскрашены в шахматном порядке. Можно ли положить на эту доску несколько доминошек так, чтобы каждая белая клетка была накрыта ровно двумя доминошками, а каждая чёрная — ровно одной или ровно трёмя?
Задача 3.
Натуральные числа 𝑎, 𝑏 и положительное число 𝑐 удовлетворяют условию:
$$ \frac{a+1}{b+c}=\frac{b}{a} $$
Докажите, что 𝑐 ≥ 1.
Задача 4.
Маша, Таня и Серёжа хотят прорешать все задачи из сборника Турниров Мёбиуса (каждую задачу решит кто-то один). Маша решает 𝑎 задач в день, Таня 𝑏 задач в день, а Серёжа 𝑐 задач в день. Если бы Маша могла решать за день в 11 раз больше задач, Таня в 7 раз больше, а Серёжа в 9 раз больше, они бы справились ровно за 5 дней. Если бы Маша могла решать за день в 4 раз больше задач, Таня в 2 раза больше, а Серёжа в 3 раза больше, они бы справились ровно за 16 дней. А за сколько дней они решат все задачи в реальности?
Задача 5.
2014 мячей покрашены в 106 разных цветов так, что мячей каждого цвета ровно по 19. При каком наименьшем 𝑛 можно утверждать, что в любом расположении мячей по кругу найдутся 𝑛 последовательных мячей, среди которых встречаются хотя бы 53 разных цвета?
Задача 6.
Неотрицательные числа 𝑎, 𝑏, 𝑐 таковы, что сумма любых двух из них не больше 1. Докажите, что 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 ≤ 1.
Задача 7.
В левой нижней клетке таблицы 2022 × 2022 сидели несколько чёрных сусликов, а в левой верхней — несколько белых сусликов. За один ход каждый чёрный суслик может перебежать в клетку, примыкающую к его клетке справа или сверху, а каждый белый — в клетку, примыкающую к его клетке справа или снизу. После некоторого количества ходов оказалось, что суслики побывали во всех клетках. Какое наименьшее количество сусликов может быть в таблице?
Задача 8.
Найдите все натуральные 𝑚, 𝑛 и простые 𝑝 такие, что 𝑚3 + 7𝑝2 = 2𝑛.
