Задача 1.
По кругу записаны 100 целых чисел. Каждое из них больше суммы двух чисел, идущих за ним по часовой стрелке. Какое наибольшее количество положительных чисел может быть среди этих 100 чисел?
Задача 2.
Для натурального числа 𝑛 > 1 обозначим 𝐿(𝑛) наибольший натуральный делитель числа 𝑛, который не равен 𝑛. Например, 𝐿(12) = 6, 𝐿(5) = 1. Положим также 𝐿(1) = 𝐿(0) = 0. Найдите все натуральные 𝑛, для которых:
$$ n+L(n)+L(L(n))+\cdots+\underbrace{L(\ldots L(n) \ldots)}_{n \text { раз }}=2022 $$
Задача 3.
Два угла пятиугольника равны 60°. Докажите, что не все стороны пятиугольника равны.
Задача 4.
Дано натуральное число 𝑛. У Арнима и Брентано есть полоска из 2022 клеток. В начале игры Арним выбирает клетку и кладёт на неё камешек. Затем каждую минуту Брентано называет натуральное число, не превосходящее 𝑛, а Арним двигает камешек на названное Брентано число клеток (влево или вправо, по своему выбору). Брентано выигрывает, если Арним не может сделать ход. Найдите наименьшее 𝑛, при котором Брентано заведомо сможет выиграть.
Задача 5.
Вася по очереди ставит крестики и нолики в клетки таблицы (2𝑛 + 1) × (2𝑛 + 1) (начиная с крестика). Когда Вася заполняет все клетки, ему платят 1 рубль за каждый ряд (строчку или столбец), в котором крестиков больше, чем ноликов, и отбирают у него 1 рубль за каждый ряд, в котором ноликов больше, чем крестиков. Какой наибольший заработок может обеспечить себе Вася? (Ответ может зависеть от 𝑛.)
