Задача 1.
Из середины двух длинных сторон прямоугольника 5 × 12 вырезали по две клетки (таким образом, оставшаяся фигура состоит из двух квадратов 5 × 5 и соединяющего их прямоугольника 3 × 2). Докажите, что количество способов разрезать на доминошки оставшуюся фигуру является квадратом натурального числа. (Два разрезания считаются различными, если какие-то две клетки в одном из них принадлежат одной доминошке, а в другом — разным.)
Задача 2.
Число вида 1 + 2 + ... + 𝑛 = 𝑛(𝑛+1)/2 называется треугольным. Известно, что разность двух треугольных чисел — степень двойки. Докажите, что их сумма — тоже степень двойки.
Задача 3.
На доске написаны 𝑛 попарно различных натуральных чисел, меньших чем (𝑛 − 1)!. Для каждой пары этих чисел Петя поделил большее из них на меньшее с остатком и записал в тетрадку неполное частное. Докажите, что в тетрадке найдутся два равных числа.
Задача 4.
На складе имеется неограниченный запас пробирок трёх видов. Каждая пробирка содержит 1 г раствора сбрендинола: 10-процентного в пробирках красного цвета, 20-процентного в пробирках синего цвета и 90-процентного в пробирках белого цвета. Вася берёт пробирки по одной и выливает их содержимое в котёл (первоначально пустой). Две одноцветные пробирки подряд выливать в котёл нельзя. Какое наименьшее количество пробирок нужно вылить в котёл, чтобы получился раствор сбрендинола с концентрацией ровно 20,21%?
Задача 5.
В чемпионате участвовали 100 спортсменов, которые заняли места с первого по сотое. Однако после допинг-контроля часть спортсменов дисквалифицировали, а их результаты удалили из итоговой таблицы. Оказалось, что все честные спортсмены поднялись в итоговой таблице на разное число мест (кто-то мог подняться на 0 мест, то есть не изменить свою позицию). Какое наименьшее количество спортсменов могло быть дисквалифицировано?
Задача 6.
На доске написаны 53 различных натуральных числа. Известно, что сумма любых 27-ми из них больше суммы остальных 26-ти. Какое наименьшее число может встретиться на доске?
