Задача 1.
Назовём семиугольник прикольным, если у него есть четыре прямых угла. Докажите, что любой прикольный семиугольник можно разрезать на семь прикольных семиугольников.
Задача 2.
При каких натуральных 𝑛 все натуральные числа от 1 до 𝑛 можно раскрасить в три цвета так, чтобы чисел всех трёх цветов было поровну и среди чисел каждого цвета было среднее арифметическое всех чисел этого цвета?
Задача 3.
В строчку выписаны 𝑛 натуральных чисел. Докажите, что можно вычеркнуть некоторые из них (можно не вычёркивать ни одного), а между оставшимися расставить знаки «+» и «−» так, чтобы значение полученного выражения делилось на 2𝑛 − 3.
Задача 4.
В руюкском алфавите 11 букв. Для каждого натурального 𝑘 ровно пять 𝑘-буквенных слов руюкского языка считаются неприличными. Докажите, что руюкским алфавитом можно написать слово из 2021 буквы, которое нельзя разрезать на два слова, хотя бы одно из которых неприличное. (Словом в руюкском языке считается любая последовательность букв руюкского алфавита.)
Задача 5.
Для каждого натурального 𝑘 обозначим 𝑑𝑘 количество однозначных (то есть не превосходящих 9) делителей числа 𝑘. Докажите, что:
$$ \frac{d_1+d_2+\cdots+d_n}{n}<3 $$
для каждого натурального 𝑛.
Задача 6.
Вася нарисовал на поле 9 × 9 корабль из 8 клеток, представляющий собой квадрат 3 × 3 без центральной клетки. Петя стреляет по кораблю (то есть по очереди называет клетки поля). Сколько выстрелов нужно сделать Пете, чтобы наверняка попасть в корабль хотя бы два раза? К сожалению, по ходу игры Вася не говорит Пете, попал тот или нет.
